Nierówność Poincarégo

Nierówność Poincarégo – rezultat dotyczący ograniczania normy $L^p$ funkcji (pomniejszonej o średnią całkową) z przestrzeni Sobolewa przez normę jej gradientu.

Wypowiedź

Niech $1⩽p<+\mathrm{\infty }$ oraz $\mathrm{\Omega }$ będzie otwartym, ograniczonym i spójnym podzbiorem ${ℝ}^n$ o brzegu klasy $C^1.$ Wtedy istnieje taka stała $C>0,$ że dla każdej funkcji $u$ należącej do przestrzeni Sobolewa $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ zachodzi:

$\Vert u-(u{)}_{\mathrm{\Omega }}{\Vert }_{L^p}⩽C\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^p},$

gdzie:

• $(u{)}_{\mathrm{\Omega }}=\frac{1}{m(\mathrm{\Omega })}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u(x)dx$ jest średnią całkową funkcji $u$ na $\mathrm{\Omega },$
• $m(\mathrm{\Omega })$ oznacza miarę Lebesgue’a na ${ℝ}^n$ zbioru $\mathrm{\Omega },$
• $\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^p}$ jest dane wzorem:

$\Vert \mathrm{\nabla }u{\Vert }_{L^p}=(\sum _{j=1}^n\Vert \frac{\partial u}{\partial x_j}{\Vert }_{L^p}^p{)}^{1/p}.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę