Pochodna Diniego

Szablon:Spis treści Pochodne Diniego – klasa uogólnień zwykłej pochodnej.

Definicja formalna

Górna pochodna Diniego, nazywana też górną pochodną prawostronną, funkcji ciągłej $f:ℝ\to ℝ$ oznaczana symbolem $f{\text{'}}_{+}$ jest zdefiniowana jako

$f{\text{'}}_{+}(t):=\underset{h\to 0_{+}}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{f(t+h)-f(t)}{h},$

gdzie $\mathrm{lim\; sup}$ oznacza granicę górną. Dolna pochodna Diniego, oznaczana $f{\text{'}}_{-},$ jest zdefiniowana wzorem

$f{\text{'}}_{-}(t):=\underset{h\to 0_{+}}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{f(t+h)-f(t)}{h},$

gdzie $\mathrm{lim\; inf}$ jest granicą dolną.

Jeżeli $f$ jest określona na przestrzeni liniowej, to górną pochodną Diniego w punkcie $t$ w kierunku $d$ definiuje się wzorem

$f{\text{'}}_{+}(t,d):=\underset{h\to 0_{+}}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{f(t+hd)-f(t)}{h}.$

Jeżeli $f$ jest lokalnie lipschitzowska, to $f{\text{'}}_{+}$ jest skończona. Jeśli $f$ jest różniczkowalna w $t,$ to pochodna Diniego w $t$ pokrywa się ze zwykłą pochodną w tym punkcie.

Uwagi

Czasem, zamiast $f{\text{'}}_{+}(t),f{\text{'}}_{-}(t)$ stosuje się odpowiednio zapisy ${\mathrm{D}}^{+}f(t),{\mathrm{D}}_{-}f(t)$. Ponadto

${\mathrm{D}}^{-}f(t):=\underset{h\to 0_{-}}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$

oraz

${\mathrm{D}}_{-}f(t):=\underset{h\to 0_{-}}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}.$

W ten sposób w notacji z $\mathrm{D}$ znak (minus/plus) mówi o tym, czy brana jest granica lewo-, czy prawostronna, zaś jego położenie mówi o jej rodzaju (dolna/górna). Każda z pochodnych Diniego zawsze istnieje w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych; mogą jednak czasem przyjmować wartości $+\mathrm{\infty }$ lub $-\mathrm{\infty }$ (tzn. pochodne Diniego zawsze istnieją w sensie rozszerzonym).

Zobacz też

• Ulisse Dini

Bibliografia

• Szablon:Springer
• Szablon:Cytuj książkę