Test Wilcoxona dla par obserwacji

Test Wilcoxona dla par obserwacji – nieparametryczna alternatywa dla testu t-Studenta dla przypadku dwóch równolicznych prób dających się połączyć w pary. Często używa się tego testu do porównywania danych zebranych przed i po eksperymencie w celu zbadania, czy nastąpiła istotna statystycznie zmiana.

Porównanie z testem t-Studenta

O ile test t-Studenta sprawdza hipotezę zerową o równości średnich arytmetycznych w odpowiadających im populacjach, test Wilcoxona weryfikuje równość median.

Jak test t-Studenta, test Wilcoxona bazuje na różnicach między wartościami cech z porównywanych zbiorów, stąd również wymaga zmiennych na skali interwałowej. W przeciwieństwie jednak do testu t-Studenta nie posiada założeń dotyczących rozkładu próby. Może zatem być używany w sytuacjach, gdy założenia testu t-Studenta nie są spełnione.

Dane

Załóżmy, że zebraliśmy $2n$ obserwacji, po dwie dla każdego z n przypadków. Niech $i$ będzie indeksem danego przypadku, $x_i$ będzie pierwszą, a $y_i$ drugą obserwacją przypadku $i.$

Założenia

1. Niech $d_i=y_i-x_i$ dla $i=1\dots n.$ Zakłada się, że różnice $d_i$ są niezależne.
2. Każda różnica $d_i$ pochodzi z populacji o identycznym ciągłym rozkładzie, symetryczny względem wspólnej mediany $\theta$

Wyliczanie statystyki Wilcoxona

Testowaną hipotezą zerową jest:

$H_0:\theta =0$

Algorytm wyliczania statystyki testu Wilcoxona:

• wyliczenie różnic $d_i$
• uporządkowanie wartości bezwzględnych $|d_1|,\dots |d_n|$
• zrangowanie tak otrzymanego zbioru i oznaczenie rang przez $R_i.$ Rangi związane uzyskują wartość średnią.
• zdefiniowanie statystyki $W^{+}$ jako sumy rang $R_i,$ dla których $d_i>0.$

Niekiedy wykonuje się dalsze kroki:

• Analogicznie obliczana jest statystyka $W^{-},$ czyli suma rang, dla których $d_i<0.$
• Statystyka $S$ jest obliczana jako:

$S=min(W^{+},W^{-}).$

Właściwości statystyki Wilcoxona

Właściwości statystyki $W^{+}:$

• wartość oczekiwana:

$𝔼W^{+}=\frac{n(n+1)}{4}$

• wariancja:

$\mathrm{Var}{W}^{+}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}$

• Dla dowolnej liczby $t:$

$\mathrm{P}(\frac{W^{+}-𝔼W^{+}}{\sqrt{Var{W}^{+}}}⩽t)\to \mathrm{\Phi }(t)$ gdy $n\to \mathrm{\infty }$

Do obliczenia wartości p dla prób o małej liczności (zwykle przyjmuje się $n⩽20$) korzysta się z tablic statystycznych. Dla dużych prób używa się przybliżenia rozkładem normalnym, z parametrami podanymi wyżej.

Historia

Twórcą testu był Frank Wilcoxon (1892–1965), który zaproponował go w jednym artykule (Wilcoxon, 1945) z innym testem, zwanym obecnie testem Manna-Whitneya (lub testem Wilcoxona dla dwóch prób).

Test Wilcoxona był spopularyzowany przez Siegla (1956) w jego wpływowym podręczniku statystyki nieparametrycznej. Siegel używał symbolu $T$ dla wielkości oznaczanej powyżej przez $S.$ W konsekwencji test czasami jest nazywany testem T Wilcoxona, a statystyka testowa jest podawana jako wartość $T.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Metoda wyliczania p dla testu Wilcoxona Szablon:Lang
• Szablon:Cytuj stronę Szablon:Lang
• Szablon:Cytuj stronę Szablon:Lang

Implementacje

• ALGLIB zawiera implementację testu Wilcoxona w C++, C#, Delphi, Visual Basicu itp.