Twierdzenie Kuratowskiego-Steinhausa (teoria miary)

Twierdzenie Kuratowskiego-Steinhausa – twierdzenie teorii miary mówiące o pewnej własności miary Lebesgue’a, związanej z niezmienniczością tej miary ze względu na przesunięcia.

Twierdzenie

Mając dany podział przestrzeni ${ℝ}^n$ na sektory $S_1,\dots ,S_{n+1}$ oraz ograniczony podzbiór $A\subseteq {ℝ}^n$ mierzalny, o mierze dodatniej, można tak go przesunąć, by jego przekroje z sektorami miały miary w danej z góry proporcji. Innymi słowy dla dowolnych liczb nieujemnych ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{n+1}$ takich, że

${\alpha }_1+\dots +\dots {\alpha }_{n+1}=1$

istnieje taki wektor $x\in {ℝ}^n,$ że

${\alpha }_j=\frac{l_n((A+x)\cap S_j)}{l_n(A)}$

dla $j⩽n+1,$ gdzie $l_n$ oznacza $n$-wymiarową miarę Lebesgue’a.

Komentarze

Dowód podany przez Kuratowskiego i Steinhausa oparty jest na twierdzeniu Brouwera o punkcie stałym. Karol Borsuk podał inny dowód tego twierdzenia w oparciu o twierdzenie Borsuka-Ulama.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę