Twierdzenie Borsuka-Ulama

Twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach – twierdzenie topologiczne, które w swojej popularnonaukowej wersji mówi, że na powierzchni kuli ziemskiej istnieje para punktów antypodycznych, w których temperatura i ciśnienie są takie same.

Według MatouškaSzablon:Odn ogólne sformułowanie twierdzenia pojawia się po raz pierwszy w pracy Łazara Lusternika i Lwa Sznirelmana z 1930 roku. Samo twierdzenie nosi jednak nazwisko Karola Borsuka, który jako pierwszy podał jego dowód w pracy opublikowanej w Fundamenta Mathematicae z 1933 roku, gdzie przypisuje on autorstwo tezy Stanisławowi Ulamowi.

Twierdzenie

Niech $S^n$ oznacza $n$-wymiarową sferę (jednostkową) przestrzeni euklidesowej ${ℝ}^{n+1}.$ Dla dowolnej funkcji ciągłej

$f:S^n\to {ℝ}^n$

istnieje (co najmniej jeden) taki punkt $x\in S^n,$ że

$f(x)=f(-x).$

Równoważne sformułowania

Istnieje kilka faktów topologicznych równoważnych twierdzeniu Borsuka-Ulama. Sformułowania te są pożyteczne przy dowodzeniu twierdzenia Borsuka-Ulama.

1) Twierdzenie Borsuka-Ulama w sformułowaniu danym powyżej.

2) Jeśli ciągła funkcja $f:S^n\to {ℝ}^n$ jest nieparzysta (czyli spełnia tożsamość $f(-x)=-f(x)$, to posiada punkt $x\in S^n,$ dla którego $f(x)=0.$

3) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste przekształcenie $f:S^n\to S^{n-1}$(dla $n⩾2$).

4) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste odwzorowanie $f:B^n\to S^{n-1}$, którego zbiorem wartości jest cała sfera .$S^{n-1}$.

Dowód

Przy użyciu kohomologii

Niech $f:S^n\to S^{n-1}$ będzie ciągłym i nieparzystym odwzorowaniem.

Przechodząc do topologii ilorazowej zadanej relacją: $x\simeq y\iff x=-y$ dzięki nieparzystości $f$ dostaniemy ciągłe odwzorowanie: $f^{\prime }:P^n(ℝ)\to P^{n-1}(ℝ),$ gdzie $P^n(ℝ)$ oznacza n-wymiarową, rzeczywistą przestrzeń rzutową. Z twierdzenia Hurewicza indukuje to homomorfizm pierścieni kohomologii ze współczynnikami z ciała ${𝔽}_2:$

${𝔽}_2[x]/(x^n)=H^{*}(P^{n-1}(ℝ);{𝔽}_2)\to H^{*}(P^n(ℝ);{𝔽}_2)={𝔽}_2[y]/(y^{n+1}),$

który na $x$ przybiera wartość $y,$ ale: $x^n=0,$ a $y^n\ne 0.$ To daje sprzeczność.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj