Całka względem miary wektorowej

Całka względem miary wektorowej – rozszerzenie konstrukcji całki Lebesgue’a na miary wektorowe. Potrzeba wprowadzenia całki w nowym sensie – względem miar wektorowych – zrodziła się w wyniku wzrostu znaczenia tych ostatnich we współczesnej matematyce i zastosowaniach, np. John von Neumann zbudował mechanikę kwantową w oparciu o miary spektralne, szczególne miary wektorowe.

Konstrukcja

Niech $M$ będzie niepustym zbiorem, $𝔐$ będzie σ-ciałem jego podzbiorów oraz niech $B(𝔐)$ oznacza zbiór wszystkich $𝔐$-mierzalnych, ograniczonych odwzorowań zbioru $M$ w ciało skalarów $K.$ Dalej, niech $E$ będzie ustaloną przestrzenią Banacha nad $K$ oraz $\nu :𝔐\to E$ będzie miarą wektorową o ograniczonym półwahaniu, tj. $\Vert \nu \Vert (M)<\mathrm{\infty }.$

Jeżeli funkcja $f:M\to K$ jest $𝔐$-mierzalna i przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości, to można ją zapisać w postaci

$f=\sum _{j=1}^N{\alpha }_j{\mathrm{𝟏}}_{A_j},$

gdzie ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_N\in K,$ a zbiory $A_1,\dots ,A_N\in 𝔐$ są parami rozłączne i $\bigcup _{j=1}^N{A}_j=M.$ Wzór

$T_{\nu }f=\sum _{j=1}^N{\alpha }_j\nu (A_j)$

określa odzworowanie liniowe przestrzeni

$Y=\{f\in B(𝔐):\mathrm{card}f(M)<{\mathrm{\aleph }}_0\}$

w przestrzeń $E.$ Odwzorowanie to jest ciągłe oraz $\Vert T_{\nu }\Vert =\Vert \nu \Vert (M).$ Podprzestrzeń $Y$ jest gęsta, więc odwzorowanie $T_{\nu }$ można jednoznacznie przedłużyć do odwzorowania ciągłego przestrzeni $B(𝔐)$ w przestrzeń $E,$ które nadal będziemy oznaczać tym samym symbolem. Oczywiście, nadal $\Vert T_{\nu }\Vert =\Vert \nu \Vert (M).$ Jeżeli $f\in B(𝔐),$ to zamiast $T_{\nu }f$ piszemy też

$\underset{M}{\int }fd\nu .$

Jeżeli $f\in B(𝔐)$ oraz $x^{\star }\in E^{\star },$ to

$x^{\star }\underset{M}{\int }fd\nu =\underset{M}{\int }fd(x^{\star }\circ \nu ).$

Jeżeli $A\in 𝔐,$ a $f:A\to K$ jest ograniczoną funkcją $𝔐$-mierzalną, to

$\underset{A}{\int }fd\nu :=\underset{M}{\int }{f}_{0}d\nu ,$

gdzie $f_0:M\to K$ dana jest wzorem $f_0(x)=f(x),$ gdy $x\in A$ oraz $f_0(x)=0,$ gdy $x\in M\setminus A.$

Jeżeli $A,B\in 𝔐$ są rozłączne, a $f:A\cup N\to K$ jest ograniczoną funkcją $𝔐$-mierzalną, to

$\underset{A\cup B}{\int }fd\nu =\underset{A}{\int }fd\nu +\underset{B}{\int }fd\nu .$

Analogicznie określa się całkę względem miary wektorowej przeliczalnie addytywnej.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę