Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznegoSzablon:Odn. Nazwa upamiętnia matematyków: Arthura Cayleya i Williama Hamiltona

Dokładniej; jeżeli $A$ jest macierzą $n\times n$ oraz $I_n$ jest macierzą identycznościową $n\times n$ to wielomian charakterystyczny $A$ jest zdefiniowany jako:

$w(\lambda )=\det (\lambda I_n-A),$

gdzie $\det$ oznacza wyznacznik.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że podstawienie $A$ do wielomianu charakterystycznego daje w rezultacie macierz złożoną z samych zer:

$w(A)=0_n.$

Ważnym wnioskiem z teorii Cayleya-Hamiltona jest fakt, że wielomian minimalny danej macierzy jest dzielnikiem wielomianu charakterystycznego. Jest to bardzo przydatne podczas znajdowania postaci Jordana danej macierzy.

Przykład

Rozważmy macierz

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right].$

Wielomian charakterystyczny tej macierzy ma następującą postać:

$w(\lambda )=\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ -3& \lambda -4\end{array}\right|=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3={\lambda }^2-5\lambda -2.$

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że

$A^2-5A-2I_2=0_2$

czyli:

$\begin{array}{cc}{A}^2-5A-2I_2& ={\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^2-5\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]-2\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}7& 10\\ 15& 22\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}5& 10\\ 15& 20\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right].\end{array}$

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona pozwala obliczać potęgi macierzy o wiele prościej, niż przez bezpośrednie mnożenia.

Biorąc powyższe wyniki

$A^2-5A-2I_2=0_2$

$A^2=5A+2I_2.$

policzmy $A^4:$

$A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2$

$A^4=A^{3}A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A$

$A^4=145A+54I_2.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Cayley-Hamilton theorem Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].