Hipersfera

Siatka rozpięta na hipersferze dwuwymiarowej w rzucie ortogonalnym

Rzut na płaszczyznę siatki rozpiętej na hipersferze trójwymiarowej

Hipersfera (gr. υπερ hyper „nad, ponad” i σφαῖρα sphaîra „kula, piłka”) – uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.

Definicja formalna

Dla dowolnej liczby naturalnej $n,$ hipersfera o promieniu $r$ jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej $(n+1)$-wymiarowej, które znajdują się w odległości $r$ od wybranego punktu środkowego $c,$ gdzie $r$ jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a $c$ to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni $(n+1)$-wymiarowejSzablon:Odn:

$S^n=\{x\in {ℝ}^{n+1}:\Vert x-c\Vert =r\}.$

Jest to $n$-wymiarowa rozmaitość w $(n+1)$-wymiarowej przestrzeni euklidesowejSzablon:Odn. W szczególności:

• hipersfera 0-wymiarowa $S^0$ to para punktów na końcach odcinkaSzablon:Odn,
• hipersfera 1-wymiarowa $S^1$ to okrąg na płaszczyźnieSzablon:Odn,
• hipersfera 2-wymiarowa $S^2$ to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej, powierzchnia klasycznej kuliSzablon:Odn,
• hipersfera 3-wymiarowa $S^3$ to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywa się sferą jednostkową i oznacza $S^n$Szablon:Odn. Sfera $n$-wymiarowa stanowi brzeg kuli $(n+1)$-wymiarowej. Dla $n⩾2$ hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.

Współrzędne

Zbiór punktów w przestrzeni $(n+1)$-wymiarowej $(x_1,x_2,\dots ,x_{n+1}),$ który tworzy hipersferę, opisuje równanie

$r^2=\sum _{i=1}^{n+1}(x_i-c_i{)}^2,$

gdzie:

$c$ – punkt środkowy,

$r$ – promień.

Hiperkula

Szablon:Zobacz też Przestrzeń ograniczoną przez hipersferę nazywa się $(n+1)$-wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta, jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta, jeśli jej nie zawiera. W szczególności:

• hiperkula 1-wymiarowa to odcinek,
• hiperkula 2-wymiarowa to koło,
• hiperkula 3-wymiarowa to kula.

Rozmiar

Objętość wnętrza

Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue’a obszaru ograniczanego przez hipersferę $(n-1)$-wymiarową o promieniu $R,$ który jest hiperkulą $n$-wymiarową, ma postać:

$V_n(R)=C_n{R}^n,$

gdzie $C_n$ jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

$C_n=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)},$

w którym $\mathrm{\Gamma }$ to funkcja Γ.

Wzór na współczynnik $C_n$ upraszcza się, gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystychSzablon:Odn

$C_{2k}=\frac{{\pi }^k}{k!}$

i nieparzystychSzablon:Odn

$C_{2k+1}=\frac{2^{k+1}{\pi }^k}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (2k+1)}=\frac{2^{k+1}{\pi }^k}{(2k+1)!!}.$

Zestawienie wartości współczynników $C_n$

Wymiar n	Współczynnik $C_n$	Dziesiętne przybliżenie	Klasyczna interpretacja
0	$1$	1,00000	punkt
1	$2$	2,00000	długość odcinka
2	$\pi$	3,14159	pole koła
3	$\frac{4}{3}\pi$	4,18879	objętość kuli
4	$\frac{1}{2}{\pi }^2$	4,93480
5	$\frac{8}{15}{\pi }^2$	5,26379
6	$\frac{1}{6}{\pi }^3$	5,16771
7	$\frac{16}{105}{\pi }^3$	4,72478
8	$\frac{1}{24}{\pi }^4$	4,05871

Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów $n>5$ rozmiar zaczyna maleć, zmierzając do zera w nieskończoności

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{V}_n=0.$

Powierzchnia

Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery $(n-1)$-wymiarowej można uzyskać, obliczając pochodną objętości hiperkuli $n$-wymiarowej względem promieniaSzablon:Odn

$S_{n-1}(R)=\frac{d}{dR}{V}_n(R)=\frac{d}{dR}{C}_n{R}^n=n{C}_n{R}^{n-1}=C_{n-1}^{*}{R}^{n-1},$

gdzie $C_{n-1}^{*},$ podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

$C_{n-1}^{*}=n{C}_n=\frac{n{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}=\{\begin{array}{cc}0& \text{dla }n=0,\\ \frac{n{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\frac{n}{2}\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}=\frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}& \text{dla }n>0\end{array}$

Zestawienie wartości współczynników $C_{n-1}^{*}$

Wymiar n-1	Współczynnik $C_{n-1}^{*}$	Dziesiętne przybliżenie	Klasyczna interpretacja
–1	$0$	0,00000
0	$2$	2,00000	liczba punktów tworzących sferę
1	$2\pi$	6,28318	długość okręgu
2	$4\pi$	12,56637	powierzchnia kuli
3	$2{\pi }^2$	19,73920
4	$\frac{8}{3}{\pi }^2$	26,31894
5	${\pi }^3$	31,00627
6	$\frac{16}{15}{\pi }^3$	33,07336
7	$\frac{1}{3}{\pi }^4$	32,46969

Wśród hipersfer jednostkowych największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach $n>6$ ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=0.$

Wymiary ułamkowe

Szablon:Osobny artykuł Wzory na $S_n$ i $V_n$ można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych $n⩾0,$ w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli, gdy $n$ nie jest dodatnią liczbą całkowitą.

Współrzędne hipersferyczne

Analogicznie do współrzędnych sferycznych, w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni $n$-wymiarowej, w których składowymi są promień $r$ i $(n-1)$ współrzędnych kątowych ${\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,{\varphi }_{n-1},$ gdzie ${\varphi }_{n-1}$ zawiera się w przedziale $[0,2\pi ),$ a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale $[0,\pi ].$

Jeśli przez $x_i$ oznaczy się współrzędne kartezjańskie, to ich wartości można wyznaczyć jako:

$x_1=r\cos ({\varphi }_1),$

$x_2=r\sin ({\varphi }_1)\cos ({\varphi }_2),$

$x_3=r\sin ({\varphi }_1)\sin ({\varphi }_2)\cos ({\varphi }_3),$

$⋮$

$x_{n-1}=r\sin ({\varphi }_1)\dots \sin ({\varphi }_{n-2})\cos ({\varphi }_{n-1}),$

$x_n=r\sin ({\varphi }_1)\dots \sin ({\varphi }_{n-2})\sin ({\varphi }_{n-1}).$

Zobacz też

• hipersześcian
• rozmaitość

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj

Linki zewnętrzne

• Exploring Hyperspace with the Geometric Product Szablon:Lang
• Szablon:MathWorld