Przestrzeń rzutowa

Przestrzeń rzutowa – modyfikacja przestrzeni geometrycznej poprzez dołączenie do zbioru punktów przestrzeni wszystkich kierunków tej przestrzeni. W tak powiększonej przestrzeni każde dwie różne proste rzutowe leżące na jednej płaszczyźnie rzutowej posiadają punkt wspólny właściwy lub niewłaściwy zwany punktem w nieskończoności.

W szerszym ujęciu: jest to przestrzeń euklidesowa Eⁿ, do której dołączono wszystkie kierunki tej przestrzeni, oznaczana symbolem Pⁿ. Przestrzeń P¹ jest homeomorficzna z okręgiem, przestrzeń P² jest homeomorficzna ze wstęgą Möbiusa, w której brzeg wklejono koło (dysk), i tworzy płaszczyznę rzutową rzeczywistą.

Definicja formalna

Niech $K$ będzie ciałem oraz $K^n$ niech będzie iloczynem kartezjańskim $n$ kopii tego ciała, $n⩾1.$

Niech $R$ będzie relacją 2-argumentową w zbiorze $K^n\mathrm{\setminus }\{(0,0,\dots ,0)\}$ zdefiniowaną następująco:

$(x_1,x_2,\dots ,x_n)R(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego $\alpha \in K,\alpha \ne 0$ zachodzi $(x_1,x_2,\dots ,x_n)=(\alpha y_1,\alpha y_2,\dots ,\alpha y_n)$

Relacja $R$ jest równoważnością.

Zbiór klas abstrakcji relacji $R,$ czyli zbiór $K^n\mathrm{\setminus }\{(0,0,\dots ,0)\}{/}_R$ nazywa się przestrzenią rzutową wymiaru $n-1$ i jest oznaczany P^n-1.

Zgodnie z definicją, P⁰ jest zbiorem jednoelementowym, czyli punktem.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę