Hiperkula

Szablon:Dopracować Hiperkula – zwyczajowa nazwa uogólnienia kuli w $n$-wymiarowych przestrzeniach kartezjańskich ${ℝ}^n.$ Tak więc hiperkulą może być nazwane zarówno dwuwymiarowe koło, jak i trój-, cztero- lub pięciowymiarowa kula; jednak pojęcia tego używa się najczęściej dla cztero- lub więcej wymiarowych kul.

Wygląd hiperkuli

Rzut na płaszczyznę siatki pokrywającej hiperkulę czterowymiarową

Wyobrażenie sobie wielowymiarowej (cztero-, pięcio-, lub więcej) hiperkuli jest trudne dla człowieka, ponieważ przestrzeń z czterema lub większą liczbą wymiarów leży poza granicami ludzkiej, trójwymiarowej percepcji. Można narysować rzut hiperkuli na płaszczyznę, lub ewentualnie skonstruować rzut na przestrzeń trójwymiarową – dostajemy jednak wówczas odpowiednio zwykłe koło i zwykłą kulę. Można też pokryć powierzchnię hiperkuli siatką (odpowiadającą siatce równoleżników i południków na kuli) i narysować jej rzut. Uzyskujemy wówczas rysunek taki jak obok.

W przypadku przekrojenia hiperkuli, w miejscu przecięcia zobaczymy kulę (analogicznie do przekrojenia kuli, gdy w miejscu przecięcia widzimy koło).

Definicja formalna

Hiperkulą o środku w punkcie $S=(s_1,\dots ,s_n)$ i promieniu długości $r$ nazywamy zbiór punktów przestrzeni ${ℝ}^n$ spełniających nierówność

$(x_1-s_1{)}^2+(x_2-s_2{)}^2+\dots +(x_n-s_n{)}^2⩽r^2.$

Brzegiem hiperkuli jest zbiór punktów przestrzeni ${ℝ}^n$ spełniających równanie

$(x_1-s_1{)}^2+(x_2-s_2{)}^2+\dots +(x_n-s_n{)}^2=r^2.$

Zbiór ten nazywamy hipersferą. Hipersfera będąca brzegiem kuli $n$-wymiarowej jest obiektem $(n-1)$-wymiarowym, podobnie jak brzeg dwuwymiarowego koła jest obiektem jednowymiarowym – krzywą zwaną okręgiem.

Wzory

Wzór jawny

$n$-wymiarową objętość $n$-wymiarowej hiperkuli o promieniu $r$ można obliczyć ze wzoru:

$V_n=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}\cdot r^n=\{\begin{array}{cc}\frac{{\pi }^k}{k!}\cdot r^n& \text{dla }n=2k,\\ \frac{2^k{\pi }^{k-1}}{n!!}\cdot r^n& \text{dla }n=2k-1,\end{array}$

gdzie $\mathrm{\Gamma }$ oznacza funkcję gamma, $\pi$ to stała matematyczna wynosząca $\pi \approx 3,141593,$ zaś symbol $n!!$ oznacza silnię podwójną. Wraz ze wzrostem liczby wymiarów, hiperkula wypełnia coraz mniejszą część hipersześcianu, w który jest wpisana. Stosunek ich objętości maleje do zera, gdy $n$ dąży do nieskończoności.

$(n-1)$-wymiarowa powierzchnia hiperkuli jest związana prostym wzorem z jej objętością:

$S_n=\frac{n{V}_n}{r}.$

Wzór rekurencyjny

$n$-wymiarową objętość $n$-wymiarowej hiperkuli można policzyć, całkując odpowiednio $(n-1)$-wymiarową hiperkulę, przy czym 0-wymiarowa hiperkula jest punktem o objętości równej 1, co jest warunkiem brzegowym tego wzoru.

$V_n(r)=\{\begin{array}{cc}1& \text{dla }n=0,\\ \underset{-r}{\overset{r}{\int }}{V}_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2})dx& \text{dla }n>0.\end{array}$

Dla kolejnych $n$-wymiarowych hiperkul objętość wynosi:

n	Wzór na uogólnioną objętość (Vn):
$0$	$V_0=1$
$1$	$V_1=2\cdot r$
$2$	$V_2=\pi \cdot r^2\simeq 3,14159265\cdot r^2$
$3$	$V_3=\frac{4}{3}\pi \cdot r^3\simeq 4,1887902\cdot r^3$
$4$	$V_4=\frac{{\pi }^2}{2}\cdot r^4\simeq 4,9348022\cdot r^4$
$5$	$V_5=\frac{8\cdot {\pi }^2}{15}\cdot r^5\simeq 5,263789\cdot r^5$
$6$	$V_6=\frac{{\pi }^3}{6}\cdot r^6\simeq 5,1677128\cdot r^6$
$7$	$V_7=\frac{16\cdot {\pi }^3}{105}\cdot r^7\simeq 4,724766\cdot r^7$
$8$	$V_8=\frac{{\pi }^4}{24}\cdot r^8\simeq 4,0587121\cdot r^8$
$9$	$V_9=\frac{32\cdot {\pi }^4}{945}\cdot r^9\simeq 3,2985089\cdot r^9$
$10$	$V_{10}=\frac{{\pi }^5}{120}\cdot r^{10}\simeq 2,550164\cdot r^{10}$
$11$	$V_{11}=\frac{64\cdot {\pi }^5}{10395}\cdot r^{11}\simeq 1,8841039\cdot r^{11}$
$12$	$V_{12}=\frac{{\pi }^6}{720}\cdot r^{12}\simeq 1,3352628\cdot r^{12}$
$13$	$V_{13}=\frac{128\cdot {\pi }^6}{135135}\cdot r^{13}\simeq 0,9106288\cdot r^{13}$
$14$	$V_{14}=\frac{{\pi }^7}{5040}\cdot r^{14}\simeq 0,5992645\cdot r^{14}$
$15$	$V_{15}=\frac{256\cdot {\pi }^7}{2027025}\cdot r^{15}\simeq 0,38144328\cdot r^{15}$
$16$	$V_{16}=\frac{{\pi }^8}{40320}\cdot r^{16}\simeq 0,23533063\cdot r^{16}$
$17$	$V_{17}=\frac{512\cdot {\pi }^8}{34459425}\cdot r^{17}\simeq 0,140981107\cdot r^{17}$
$18$	$V_{18}=\frac{{\pi }^9}{362880}\cdot r^{18}\simeq 0,0821459\cdot r^{18}$
$19$	$V_{19}=\frac{1024\cdot {\pi }^9}{654729075}\cdot r^{19}\simeq 0,0466216\cdot r^{19}$
$20$	$V_{20}=\frac{{\pi }^{10}}{3628800}\cdot r^{20}\simeq 0,02580689\cdot r^{20}$
$2m$	$V_{2m}=\frac{{\pi }^m}{m!}\cdot r^{2m}$
$2m+1$	$V_{2m+1}=\frac{2^{2m+1}\cdot m!\cdot {\pi }^m}{(2m+1)!}\cdot r^{2m+1}$
$\mathrm{\infty }$	$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{V_n}{r^n}=0$