Uogólniona macierz odwrotna

Szablon:Dopracować Uogólniona macierz odwrotna – uogólnienie pojęcia macierzy odwrotnej na macierze prostokątne. Zamiennie używa się pojęć pseudoodwrotności, pseudoinwersji. Pojęcie to opracowali niezależnie od siebie E. H. Moore w 1920 i Roger Penrose w 1955 roku. Wcześniej, w 1903, pomysł pseudoodwrotności operatorów całkowych zaproponował Fredholm. Artykuł traktuje o uogólnieniu zaproponowanym przez Moore’a i Penrose’a, istnieją jednak także inne uogólnienia macierzy odwrotnej, których artykuł ten nie obejmuje.

Definicja

Niech $A$ będzie macierzą nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Macierz $B$ nazywamy uogólnioną macierzą odwrotną do $A,$ jeżeli spełnia ona cztery poniższe warunki:

• $ABA=A,$
• $BAB=B,$
• $(AB{)}^{\star }=AB,$
• $(BA{)}^{\star }=BA,$

gdzie ${}^{\star }$ oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy.

Innym sposobem definiowania uogólnionej odwrotności jest określenie jej jako granicy:

$B=\underset{\delta \to 0}{\lim }(A^{\star }A+\delta I{)}^{-1}{A}^{\star }=\underset{\delta \to 0}{\lim }{A}^{\star }(A{A}^{\star }+\delta I{)}^{-1}.$

Definicja ta jest poprawna, ponieważ granice te istnieją nawet wówczas, gdy macierze ${\left(A{A}^{\star }\right)}^{-1}$ oraz ${\left(A^{\star }A\right)}^{-1}$ nie istnieją.

Dla macierzy nad ciałem liczb rzeczywistych sprzężenie hermitowskie jest równoważne transpozycji macierzy. Macierz $B$ jest wyznaczona jednoznacznie i jest wówczas oznaczana zwykle przez $A^{+}.$

Własności

Własności uogólnionej macierzy odwrotnej są podobne do własności zwykłej macierzy odwrotnej z tym, że każda macierz jest pseudoodwracalna (istnieje macierz do niej pseudoodwrotna):

• Pseudoodwrotność macierzy jest inwolucją

  ${\left(A^{+}\right)}^{+}=A.$

• Zachodzą następujące przemienności

  ${\left(A^T\right)}^{+}={\left(A^{+}\right)}^T$ (z transpozycją),

  ${\left(\bar{A}\right)}^{+}=\overline{\left(A^{+}\right)}$ (ze sprzężeniem trywialnym),

  ${\left(A^{\star }\right)}^{+}={\left(A^{+}\right)}^{\star }$ (ze sprzężeniem hermitowskim).

• Dla każdego $\alpha \ne 0$ zachodzi równość

  ${\left(\alpha A\right)}^{+}=\frac{1}{\alpha }{A}^{+}.$

Zobacz też

• macierz odwrotna