Zagadnienie poprawnie postawione

Zagadnienie poprawnie postawione (dobrze postawione) – zagadnienie fizyczne lub matematyczne opisane przez układ równań różniczkowych cząstkowych i zachowujące się dobrze w zastosowaniach praktycznych.

Def. Zagadnieniem poprawnie postawionym nazywamy zagadnienie:

$F(x,u,Du,\dots ,D^{m}u)=0,u:𝒟\to {ℝ}^n$

wraz z warunkami brzegowymi

$Au=G,$

które spełnia następujące warunki:

1. Rozwiązanie równania istnieje w odpowiedniej wymaganej klasie regularności, np. typowo $C^2(int(𝒟))\cap C^0(\partial 𝒟).$
2. W tej klasie rozwiązanie jest jednoznaczne.
3. W tej klasie rozwiązanie jest stabilne, tj. jeśli mamy takie same zagadnienia z różnymi warunkami brzegowymi $A{u}_0=G_0,$ $A{u}_1=G_1$ oraz warunki brzegowe są „bliskie” $\Vert G_0-G_1\Vert <ϵ,$ to rozwiązania równań są również „bliskie” $\Vert u_0-u_1\Vert <ϵ.$ Inny słowy rozwiązanie jest ciągłe względem warunków początkowych.

Zagadnienia dobrze postawione są ważne z praktycznego punktu widzenia: ich rozwiązania można dobrze obliczać.

Zobacz też

• równanie falowe
• równanie przewodnictwa cieplnego
• równanie różniczkowe
• równanie sztywne