Przekształcenie antyliniowe

Przekształcenie antyliniowe (przekształcenie półliniowe) – rodzaj przekształcenia między zespolonymi przestrzeniami liniowymi.

Definicja

Niech $V$ oraz $W$ będą dowolnymi zespolonymi przestrzeniami liniowymi. Przekształcenie $f:V\to W$ nazywamy przekształceniem antyliniowym (przekształceniem półliniowym), gdy

$f(ax+by)=\bar{a}f(x)+\bar{b}f(y)$

dla każdego $a,b\in ℂ$ oraz $x,y\in V.$

Własności

• Złożenie dwóch odwzorowań antyliniowych jest zespolonym odwzorowaniem liniowym.
• Odwzorowanie antyliniowe $f:V\to W$ może być równoważnie opisane jako $\bar{f}:V\to \bar{W},$ czyli przekształcenie przestrzeni liniowej $V$ w sprzężoną przestrzeń liniową zespoloną $\bar{W}.$

Przykład

Niech $H_1,H_2$ będą zespolonymi przestrzeniami Hilberta. Jeżeli $T_1,T_2:H_1\to H_2$ są ciągłymi i liniowymi operatorami oraz $a,b\in ℂ,$ to

$(a{T}_1+b{T}_2{)}^{\star }=\bar{a}{T}_1^{\star }+\bar{b}{T}_2^{\star },$

gdzie $T_i^{\star }$ jest operatorem sprzężonym z operatorem $T_i,i\in \{1,2\}.$ Zatem sprzężenie hermitowskie ciągłych i liniowych operatorów przestrzeni Hilberta jest przekształceniem antyliniowym.

Zobacz też

• sprzężenie zespolone
• forma półtoraliniowa