Kąty Eulera

Kąty Eulera – układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwóch kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Nazwa pochodzi od nazwiska szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera.

Definicja formalna

Kąty Eulera dla prawoskrętnych układów współrzędnych

Definicja kątów Eulera opiera się na spostrzeżeniu, że dowolnie zorientowany układ współrzędnych $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$ można otrzymać z danego układu $Oxyz$ przez złożenie trzech obrotów wokół osi układu. Istnieje kilka takich kombinacji obrotów; wybór konkretnej z nich jest kwestią konwencji.

(1) Załóżmy najpierw, że osie $z$ i $z^{\prime }$ nie są równoległe, a zatem płaszczyzna $Oz{z}^{\prime }$ jest dobrze określona. Wówczas jedynym obrotem, który przekształca oś $z$ na oś $z^{\prime },$ jest obrót o odpowiedni kąt wokół linii węzłów $w,$ tj. prostej prostopadłej do płaszczyzny $Oz{z}^{\prime }$ w punkcie $O.$ Linia węzłów, jako prostopadła do obu osi $z$ i $z^{\prime },$ jest prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny $Oxy$ i $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }.$ Tak więc układ $Oxyz$ można nałożyć na $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime },$ dokonując kolejno następujących trzech obrotów:

1. obrót wokół osi $z,$ taki by oś $x$ pokryła się z linią węzłów $w$
2. obrót wokół osi $x$ $(=w),$ taki by oś $z$ pokryła się z osią $z^{\prime }$
3. obrót wokół osi $z$ $(=z^{\prime }),$ taki by oś $x$ pokryła się z osią $x^{\prime }$ (wtedy też oś $y$ pokryje się z osią $y^{\prime }$).

Zauważmy, że powyższe warunki wyznaczają dwie różne sekwencje obrotów, gdyż w kroku 1. istnieją dwa obroty (o kąty różniące się o $\pi$) prowadzące do ustawienia osi $x$ wzdłuż linii węzłów w, lecz nadające jej przeciwne zwroty. Wybieramy zwrot zgodny ze zwrotem iloczynu wektorowego wersorów osi $z$ i $z^{\prime }$ $e_z\times {e_z}^{\prime }$ (przyjmując go za zwrot osi węzłów). Obrót 2. będzie więc zawsze obrotem o kąt z zakresu $(0,\pi ).$

Poszczególne kąty Eulera $(\phi ,\psi ,\theta )$ parametryzują powyższe trzy obroty; definiujemy je zatem następująco:

• $\phi$ – kąt mierzony od osi $x$ do osi węzłów $w$ w kierunku wyznaczonym osią $z;$ jest to kąt obrotu 1.
• $\theta$ – kąt mierzony od osi $z$ do $z^{\prime }$ w kierunku wyznaczonym osią węzłów $w;$ jest to kąt obrotu 2.
• $\psi$ – kąt mierzony od osi węzłów $w$ do osi $x^{\prime }$ w kierunku wyznaczonym osią $z^{\prime };$ jest to kąt obrotu 3.

W ten sposób każdemu obrotowi układu współrzędnych w przestrzeni, nie zachowującemu zwrotu ani kierunku osi $z,$ można wzajemnie jednoznacznie przypisać uporządkowaną trójkę kątów $(\phi ,\psi ,\theta )\in [0,2\pi )\times [0,2\pi )\times (0,\pi ).$

(2) Osobnej uwagi wymaga sytuacja, gdy osie $z$ i $z^{\prime }$ są równoległe (identyczne lub o przeciwnych zwrotach). Płaszczyzna $Oz{z}^{\prime }$ i linia węzłów nie są wówczas jednoznacznie określone; oś $z$ można przekształcić na oś $z^{\prime }$ w wyniku obrotu (o kąt $0$ lub $\pi ,$ zależnie od zwrotu osi $z^{\prime }$) wokół dowolnej prostej przechodzącej przez punkt $O$ i leżącej w płaszczyźnie $Oxy=O{x}^{\prime }{y}^{\prime }.$ Mamy zatem $\theta =0$ lub $\theta =\pi ,$ a ustawienie osi $x^{\prime },$ $y^{\prime }$ jest jednoznacznie wyznaczone odpowiednio przez sumę lub różnicę kątów $\phi$ i $\psi .$

Związek z macierzą obrotu

Macierze obrotów 1., 2. i 3. mają we współrzędnych $(x,y,z)$ postacie:

$A_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \phi & -\sin \phi \\ 0& \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right],A_2=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right],A_3=\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi & -\sin \psi & 0\\ \sin \psi & \cos \psi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$

toteż macierz wypadkowego obrotu prowadzącego od układu $Oxyz$ do $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$ przedstawia się następująco:

$A=A_3{A}_2{A}_1=\left[\begin{array}{ccc}\cos \phi \cos \psi -\sin \phi \sin \psi \cos \theta & \sin \phi \cos \psi +\cos \phi \sin \psi \cos \theta & \sin \psi \sin \theta \\ -\cos \phi \sin \psi -\sin \phi \cos \psi \cos \theta & -\sin \phi \sin \psi +\cos \phi \cos \psi \cos \theta & \cos \psi \sin \theta \\ \sin \phi \sin \theta & -\cos \phi \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right].$

Jest to specjalna macierz ortogonalna, tj. macierz ortogonalna o wyznaczniku równym jedności.

Zobacz też

• elementy orbitalne
• grupa obrotów
• macierz obrotu

Bibliografia

• Grzegorz Białkowski, Mechanika klasyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975.