Wzór całkowy Cauchy’ego

Ilustracja do wzoru całkowego Cauchy'ego w analizie zespolonej. Wykonane za pomocą MuPad.

Wzór całkowy Cauchy’ego – istotny wzór analizy zespolonej. Wyraża fakt, że funkcja holomorficzna zdefiniowana na dysku jest całkowicie zdeterminowana przez wartości, które przyjmuje na brzegu tego dysku.

Załóżmy, że $U$ jest zbiorem otwartym zawartym w $𝐂$ oraz $f:U\to 𝐂$ jest funkcją holomorficzną, a koło $D=\{z:|z-z_0|⩽r\}$ zawiera się w $U.$ Niech $\gamma$ będzie okręgiem tworzącym brzeg $D.$ Wówczas dla każdego $a$ należącego do wnętrza $D$ zachodzi:

$f(a)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\oint }\frac{f(z)}{z-a}dz,$

gdzie krzywa $\gamma$ jest zorientowana dodatnio względem swego wnętrza (obiega je w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Przykład użycia

Rozważmy funkcję

$f(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+2}$

oraz kontur $C,$ opisany zależnością: $|z|=2.$

Aby znaleźć całkę $f(z)$ po konturze, poszukujemy punktów osobliwych funkcji $f(z).$ Funkcję $f$ możemy zapisać:

$f(z)=\frac{z^2}{(z-z_1)(z-z_2)}$ gdzie $z_1=-1+i,z_2=-1-i.$

Otrzymane punkty mają moduł mniejszy niż 2, wobec czego leżą wewnątrz konturu i muszą zostać rozpatrzone. Korzystając z lematu Cauchy’ego-Goursat’a, możemy wyrazić całkę po konturze jako sumę całek wokół punktów $z_1$ i $z_2,$ gdzie jako kontur przyjmujemy dowolnie małe otoczenie obu punktów. Nazwijmy te kontury $C_1$ wokół $z_1$ oraz $C_2$ wokół $z_2.$

Zatem w $C_1$ zdefiniowana poniżej funkcja $g_1$ jest analityczna (bo kontur nie zawiera punktu $z_2$).

$g_1(z)=\frac{z^2}{z-z_2}$

dlatego:

$\underset{C_1}{\oint }\frac{\left(\frac{z^2}{z-z_2}\right)}{z-z_1}dz=2\pi i\frac{z_1^2}{z_1-z_2}.$

Dla drugiego konturu postępujemy analogicznie:

$g_2(z)=\frac{z^2}{z-z_1}$

$\underset{C_2}{\oint }\frac{\left(\frac{z^2}{z-z_1}\right)}{z-z_2}dz=2\pi i\frac{z_2^2}{z_2-z_1}.$

Całka po obszarze $C$ jest sumą dwóch powyższych całek:

$\begin{array}{cc}\underset{C}{\oint }\frac{z^2}{z^2+2z+2}dz& =\underset{C_1}{\oint }\frac{\left(\frac{z^2}{z-z_2}\right)}{z-z_1}dz+\underset{C_2}{\oint }\frac{\left(\frac{z^2}{z-z_1}\right)}{z-z_2}dz\\ & =2\pi i(\frac{z_1^2}{z_1-z_2}+\frac{z_2^2}{z_2-z_1})\\ & =2\pi i(-2)\\ & =-4\pi i.\end{array}$

Zobacz też

• Augustin Louis Cauchy
• twierdzenie podstawowe Cauchy’ego