Zmienna losowa

Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Zmienną losową jest na przykład funkcja opisująca wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami mogą być: stan techniczny urządzenia czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).

Definicja

Zmienną losową (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ nazywamy dowolną rzeczywistą funkcję mierzalną $\xi :\mathrm{\Omega }\to ℝ,$ tzn. funkcję $\xi$ spełniającą warunek

${\xi }^{-1}(B)\in ℱ$ dla każdego zbioru borelowskiego $B\subseteq ℝ.$

Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. $X,Y,Z$ lub liter greckich $\xi ,\eta ,$ odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.

Uogólnienia

Rozważa się również zmienne losowe o wartościach w abstrakcyjnych przestrzeniach topologicznych (żeby analogicznie mówić o przeciwobrazach zbiorów borelowskich danej przestrzeni topologicznej) – i tak, na przykład: zmienne losowe o wartościach zespolonych, nazywa się zmiennymi losowymi zespolonymi. Odwzorowanie mierzalne określone na przestrzeni $\mathrm{\Omega }$ o wartościach w przestrzeni ${ℝ}^n$ nazywa się wektorem losowym. Wektor losowy ma postać $X(\omega )=(X_1(\omega ),X_2(\omega ),\dots ,X_n(\omega )),$ gdzie $X_i$ dla $i=1,\dots ,n$ są zmiennymi losowymi rzeczywistymi.

Często rozważa się zmienne losowe o wartościach w przestrzeniach polskich ze względu na ich dobre własności.

Przykłady

• Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwiema kośćmi do gry, składa się on z 36 możliwych wyników. Przypisanie każdej kostce liczby wyrzuconych oczek i zobrazowanie wyniku w postaci pary $(i,j)\in {ℝ}^2,$ gdzie $i,j\in \{1,2,3,4,5,6\}$ jest zmienną losową.

Zmiennymi losowymi są również następujące funkcje: „iloczyn liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „liczba oczek wyrzuconych na pierwszej z kostek”.

• Niech dane będą: $\mathrm{\Omega }=[0,1],$ σ-ciało $ℱ$ zbiorów borelowskich przedziału $[0,1]$ oraz określona na nim miara Lebesgue’a $P.$ Każda funkcja ciągła $\xi :\mathrm{\Omega }\to ℝ$ jest zmienną losową.

Zobacz też

• ciągły rozkład prawdopodobieństwa
• dyskretny rozkład prawdopodobieństwa
• dystrybuanta
• gęstość zmiennej losowej
• rozkład zmiennej losowej
• wariancja
• wartość oczekiwana
• zależność zmiennych losowych

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę