Relacja pełna

Relacja pełna (relacja całkowita, relacja totalnaSzablon:Refn) – relacja obejmująca wszystkie elementy zbioru, na którym jest rozpatrywana. Relacja binarna na zbiorze $X$ jest relacją pełną, jeśli każde dwa (niekoniecznie różne) elementy zbioru $X$ są w tej relacji.

Definicja

Niech $A_1,\dots ,A_n$ będą dowolnymi zbiorami oraz $A=A_1\times \dots \times A_n.$ Relację n-argumentową $\varrho \subseteq A$ nazywa się pełną, jeżeli $\varrho =A.$

Oznacza to, że dla każdych $n$ elementów $(a_1,a_2,\dots ,a_n)\in A$ zachodzi $\varrho (a_1,a_2,\dots ,a_n),$ czyli są one ze sobą w relacji $\varrho .$

Własności

• Relacja pełna jest całkowicie wyznaczona przez określenie jej projekcji na wszystkie współrzędne. W szczególności istnieje tylko jedna dwuczłonowa relacja pełna na zbiorze $X$ – jest to $X\times X.$
• Dwuczłonowa relacja całkowita jest zwrotna, symetryczna, spójna, przechodnia. Jest to relacja równoważności o jednej klasie abstrakcji.
• Jeśli zbiór $X$ jest niepusty, to binarna relacja całkowita na $X$ nie jest przeciwzwrotna, antysymetryczna, przeciwsymetryczna.

Zobacz też

• porządek liniowy