Postać Frobeniusa

Szablon:Dopracować Postać kanoniczna Frobeniusa macierzy $m\times m,$ nazywana w skrócie macierzą Frobeniusa (od nazwiska Ferdinanda Frobeniusa) – jedna z postaci kanonicznych normalnych macierzy kwadratowej. Definiuje się ją następująco:

$A=\left(\begin{array}{ccccccc}0& 1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& 1\\ -c_0& -c_1& -c_2& -c_3& \cdots & -c_{m-2}& -c_{m-1}\end{array}\right)$

Przykłady:

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 17& -5\end{array}\right)$

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 17& -5& 0\end{array}\right)$

$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 17& -5& 0& 4\end{array}\right)$

Klasyfikacja

Zachodzi następujące twierdzenie Frobeniusa o klasyfikacji macierzy nad pierścieniem wielomianów, nazywane także lematem Frobeniusa:

Jeśli $K$ jest ciałem, a $K[X]$ jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad nim, to każda macierz nad pierścieniem $K[X]$ jest równoważna z dokładnie jedną macierzą kanoniczną Frobeniusa, to znaczy taką, która ma jedyne niezerowe elementy $d_i$ na miejscach $(i,i),$ przy czym niezerowe wielomiany $d_i$ są unormowane i wszystkie wielomiany $d_i$ spełniają warunek $d_i|d_{i+1}.$

Twierdzenie (z wyjątkiem jednoznaczności) zachodzi dla macierzy nad dowolnym pierścieniem ideałów głównych, nad pierścieniem euklidesowym jest szybki algorytm znajdowania postaci kanonicznej Frobeniusa. Dla macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych $\mathbb{Z}$ odpowiednia postać kanoniczna (z nieujemnymi elementami „diagonalnymi” $d_i$ dla jednoznaczności) nazywana jest postacią kanoniczną Smitha.

Elementy „diagonalne” $d_i$ nazywane są czynnikami niezmienniczymi macierzy. Dwie macierze tych samych rozmiarów nad pierścieniem ideałów głównych są równoważne, gdy ich czynniki niezmiennicze są stowarzyszone.

Jeśli $D_i$ jest największym wspólnym dzielnikiem minorów stopnia $i$ macierzy, to czynniki niezmiennicze tej macierzy wyrażają się wzorami:

$d_1=D_1,$ $d_{i+1}=D_{i+1}|D_i.$

Zobacz też

• postać kanoniczna Jordana