Operator Stokesa

Operator Stokesa (operator pochodnej materialnej) – operator różniczkowy stosowany w mechanice do oznaczania różniczkowania wędrownego (inaczej pochodnej substancjalnej lub pochodnej materialnej). Określa tempo zmiany dowolnej własności związanej z elementarną objętością ciała, która może znajdować się w ruchu, w odróżnieniu od różniczkowania lokalnego – związanego z układem odniesienia, który zwykle uznaje się za nieruchomy.

Operator używany w mechanice płynów.

Operator Stokesa zwykle oznaczany jest przez:

$\frac{D}{Dt}$ lub w sktócie $D_t.$

W analizie wędrownej równoważny jest symbolowi:

$\frac{\partial }{\partial t}$

różniczkowania cząstkowego względem czasu $t.$

Natomiast przy użyciu analizy lokalnej symbol równoważny jest operatorowi: Szablon:Wzory tensorowe

gdzie: $v$ – prędkość elementu ciała, z którym jest stale związana różniczkowana wielkość.

Pierwszy składnik po prawej stronie równania nosi nazwę pochodnej lokalnej, drugi (pozostałe w przypadku zapisu klasycznego) pochodnej konwekcyjnej (unoszenia). Pochodna lokalna określa szybkość zmiany wielkości w danym punkcie wynikającą ze zmiany pola w czasie. Pochodna unoszenia określa szybkość zmiany na skutek przemieszczania się płynuSzablon:R.

Zapisując jawnie różniczkowaną własność jako $\phi ,$ która w ogólności może być dowolnym polem tensorowym, można wyrazić operator Stokesa przez:

$\frac{D}{Dt}\varphi =(\frac{\partial }{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\varphi .$

Jeżeli funkcja różniczkowana jest prędkością, to pochodna jest przyspieszeniem płynuSzablon:R:

$\varphi =v,$

$a=\frac{D}{Dt}v=(\frac{\partial }{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})v=\frac{\partial v}{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}v.$

Wyprowadzenie w analizie lokalnej

W układzie współrzędnych Eulera punkt o współrzędnej $\overrightarrow{x}$ w chwili $t,$ znajdzie się w chwili $t+\mathrm{\Delta }t$ w punkcie $\overrightarrow{x}+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{x}.$ Z definicji pochodnej:

$\frac{D}{Dt}\varphi =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\varphi (t+\mathrm{\Delta }t,\overrightarrow{x}+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{x})-\varphi (t,\overrightarrow{x})}{\mathrm{\Delta }t}.$

Oznaczając:

${\overrightarrow{v}}^{\prime }=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{x}}{\mathrm{\Delta }t},$

można zauważyć, że:

$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }{\overrightarrow{v}}^{\prime }=\overrightarrow{v}.$

Rozwijając różniczkowaną funkcję wokół punktu $(t,x,y,z),$ otrzymuje się:

$\begin{array}{cc}\varphi (t+\mathrm{\Delta }t,\overrightarrow{x}+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{x})& =\varphi (t,\overrightarrow{x})+\frac{\partial \varphi }{\partial \overrightarrow{x}}\cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{x}+\frac{\partial \varphi }{\partial t}\mathrm{\Delta }t+𝒪(\mathrm{\Delta }\overrightarrow{x}\mathrm{\Delta }\overrightarrow{x})+𝒪(\mathrm{\Delta }{t}^2)\\ & =\varphi (t,\overrightarrow{x})+(\frac{\partial \varphi }{\partial \overrightarrow{x}}\cdot {\overrightarrow{v}}^{\prime }+\frac{\partial \varphi }{\partial t})\mathrm{\Delta }t+𝒪(\mathrm{\Delta }{t}^2).\end{array}$

Stąd:

$\frac{D}{Dt}\varphi =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }(\frac{\partial \varphi }{\partial \overrightarrow{x}}\cdot {\overrightarrow{v}}^{\prime }+\frac{\partial \varphi }{\partial t})=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }({\overrightarrow{v}}^{\prime }\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}+\frac{\partial }{\partial t})\varphi =(\frac{\partial }{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\varphi .$

Wyprowadzenie alternatywne

Różniczka zupełna funkcji $\varphi (t,x,y,z)$ ma postać:

$d\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial t}dt+\frac{\partial \varphi }{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi }{\partial y}dy+\frac{\partial \varphi }{\partial z}dz,$

dzieląc przez $dt,$ możemy zapisać:

$\frac{d\varphi }{dt}=\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\frac{\partial \varphi }{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\frac{dz}{dt},$

uwzględniając, że prędkość $\overrightarrow{v}=[u,v,w]=[\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}]$ otrzymujemy:

$\frac{d\varphi }{dt}=\frac{\partial \varphi }{\partial t}+u\frac{\partial \varphi }{\partial x}+v\frac{\partial \varphi }{\partial y}+w\frac{\partial \varphi }{\partial z}.$

Co można zapisać, używając operatorów:

$\frac{d\varphi }{dt}=\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla }\varphi .$

W literaturze oznaczenia $\frac{d}{dt}$ oraz $\frac{D}{Dt}$ używane są zamiennie.