Model Isinga

Dwuwymiarowy model Isinga przedstawiony jako kwadratowa sieć oddziałujących spinów.

Model Isinga – model matematyczny wykorzystywany w mechanice statystycznej do badań nad przejściami fazowymi. Został stworzony w roku 1920 przez Wilhelma Lenza jako model ferromagnetyka.

Definicja

Model Isinga opisany jest za pomocą układu dyskretnych zmiennych $s$ (spinów), które przyjmują wartości +1 lub −1 zlokalizowane na każdym węźle sieci. Energia oddziaływania pary spinów przyjmuje jedną z dwóch wartości zależną od ich wzajemnej orientacji (zgodnej lub przeciwnej).

Hamiltonian modelu Isinga w zewnętrznym polu

Energię modelu Isinga uwzględniającego oddziaływania między spinami zlokalizowanych w najbliżej sąsiadujących węzłach oraz z zewnętrznym polem magnetycznym można przedstawić w postaci hamiltonianu

$H=-\frac{1}{2}\sum _{⟨i,j⟩}{J}_{ij}{S}_i{S}_j-\sum _i{h}_i{S}_i,$

gdzie sumowanie w pierwszym członie odbywa się po wszystkich sąsiadujących ze sobą parach spinów zlokalizowanych w węzłach $i,j.$ Parametr $J_{ij}$ jest całką wymiany i przyjmuje następujące wartości zależne od charakteru oddziaływań między spinami

$J_{ij}>0$ – ferromagnetyczne (ustawia spiny w jednym kierunku, przeciwnym do zewnętrznego pola),

$J_{ij}<0$ – antyferromagnetyczne,

$J_{ij}=0$ – para spinów nie oddziałuje ze sobą,

gdzie $h$ jest energią spinu $i$ w zewnętrznym polu magnetycznym.

Ścisłe rozwiązanie tego modelu dla przypadku jednowymiarowego uzyskał Ernst Ising w roku 1925. Układ dwuwymiarowy przy zerowym polu magnetycznym analitycznie rozwiązał Lars Onsager w roku 1944. Przypadek dwuwymiarowy w niezerowym polu zewnętrznym pozostaje nie rozwiązany (2011), czyli postać analityczna energii swobodnej dla 2D modelu Isinga w dowolnym zewnętrznym polu magnetycznym jest nadal nieznana.

Namagnesowanie

Określmy wartość namagnesowania $m$ jako

$m=\frac{1}{N}\sum _i⟨S_i⟩,$

przy czym ferromagnetyzm występuje, gdy $m\ne 0$ dla zerowego zewnętrznego pola magnetycznego.

Dla ferromagnetyzmu ma miejsce spontaniczne złamanie symetrii, tzn. w zerowym zewnętrznym polu magnetycznym układ sam wyróżnia jeden z kierunków.

Suma statystyczna w modelu Isinga

$Z=\sum _{S_1,S_2,\dots ,S_N}\exp [-\beta H(S_1,S_2,\dots ,S_N)].$

(Aby obliczyć średnią z operatora A zależnego od $S_1,\dots ,S_N$ można dodać do hamiltonianu człon $+\alpha A,$ a następnie obliczyć średnią i pochodną w granicy dla $\alpha$ zmierzającym do zera)

$⟨A(S_1,S_2,\dots ,S_N)⟩=\frac{1}{Z}\sum _{S_1,\dots ,S_N}A(S_1,S_2,\dots ,S_N)\exp [-\beta H(S_1,S_2,\dots ,S_N)].$

Namagnesowanie jest więc równe:

$m=kT\frac{1}{N}\frac{\partial }{\partial h}\ln Z=kT\frac{1}{N}\frac{\partial }{\partial h}\ln \sum _{S_1,\dots ,S_N}\exp [\beta J\sum _{<i,j>}{S}_i{S}_j+\beta h\sum _i{S}_i]=kT\frac{1}{N}\frac{\sum _{S_1,\dots ,S_N}[\exp (-\beta H)\beta \sum _i{S}_i]}{Z}=\frac{1}{N}\sum _i⟨S_i⟩.$

Ostatecznie więc namagnesowanie

$m=\frac{1}{N}\sum _i⟨S_i⟩=kT\frac{1}{N}\frac{\partial }{\partial h}\ln Z.$

Gdy J = 0, tzn. dla układu nieoddziałujących spinów w polu magnetycznym suma statystyczna jest równa:

$Z=\sum _{S_1,\dots ,S_N}\exp (-\beta H)=\sum _{S_1,\dots ,S_N}\exp \left(\beta h\sum _i{S}_i\right)={\left[\sum _{S_i}(\exp (\beta h{S}_i))\right]}^N={[\exp (\beta h)+\exp (-\beta h)]}^N={[2\cosh (\beta h)]}^N.$

Dla takiej sumy statystycznej namagnesowanie jest równe

$m=\frac{1}{N}kT\frac{\partial }{\partial h}\ln {[2\cosh \beta h)]}^N=kT\frac{[\exp (\beta h)-\exp (-\beta h)]}{2\cosh (\beta h)}=\mathrm{tgh}(\beta h).$

Model Isinga w jednym wymiarze

W układzie jednowymiarowym można nałożyć periodyczne warunki brzegowe $S_{N+1}=S_1.$

Hamiltonian dla takiego układu:

$\begin{array}{cc}H& =-J\sum _i{S}_i{S}_{i+1}-h\sum _i{S}_i=-J\sum _i{S}_i{S}_{i+1}-\frac{1}{2}h\sum _i{S}_i-\frac{1}{2}h\sum _i{S}_{i+1}=-\sum _i(J{S}_i{S}_{i+1}+\frac{1}{2}h(S_i+S_{i+1}))\\ & =-(J{s}_1{S}_2+\frac{1}{2}h(S_1+S_2)+J{s}_2{S}_3+\frac{1}{2}h(S_2+S_3)+J{s}_3{S}_4+\frac{1}{2}h(S_3+S_4)+\dots +J{s}_N{S}_1+\frac{1}{2}h(S_N+S_1)).\end{array}$

Statystyczna suma stanów:

$\begin{array}{cc}Z& =\sum _{S_1,\dots ,S_N}\exp (-\beta H)=\sum _{S_1,\dots ,S_N}\exp \left[\beta \sum _i(J{S}_i{S}_{i+1}+\frac{1}{2}h(S_i+S_{i+1}))\right]\\ & =\sum _{S_1,\dots ,S_N}\exp \left[\beta (J{s}_1{S}_2+\frac{1}{2}h(S_1+S_2)+J{s}_2{S}_3+\frac{1}{2}h(S_2+S_3)+J{s}_3{S}_4+\frac{1}{2}h(S_3+S_4)+\dots +J{s}_N{S}_1+\frac{1}{2}h(S_N+S_1))\right]\\ & =\sum _{S_1,\dots ,S_N}\exp \left[\beta (J{s}_1{S}_2+\frac{1}{2}h(S_1+S_2))\right]\exp \left[\beta (J{s}_2{S}_3+\frac{1}{2}h(S_2+S_3))\right]\exp \left[\beta (J{s}_3{S}_4+\frac{1}{2}h(S_3+S_4))\right]\dots \exp \left[\beta (J{s}_N{S}_1+\frac{1}{2}h(S_N+S_1))\right]\\ & =\sum _{S_1,\dots ,S_N}{M}_{S_1,S_2}{M}_{S_2,S_3}\dots M_{S_N,S_1}=(*),\end{array}$

gdzie:

$M_{S_1,S_2}=M_{S_2,S_3}=\dots =M_{S_N,S_1}=M_{S_i,S_{i+1}}=M=\exp \left[\beta (J{s}_i{S}_{i+1}+\frac{1}{2}h(S_i+S_{i+1}))\right].$

Możliwe są cztery „warianty” M:

$\begin{array}{cc}& \begin{array}{cc}{s}_i=-1& s_i=+1\end{array}\\ \begin{array}{c}{s}_{i+1}=-1\\ s_{i+1}=+1\end{array}& \left[\begin{array}{cc}{e}^{\beta (J-h)}& e^{-\beta J}\\ e^{-\beta J}& e^{\beta (J+h)}\end{array}\right]\end{array}.$

Wracając więc do sumy statystycznej

$Z=(*)=Tr(M^N)=Tr(M\cdot M\cdot M\cdot \dots \cdot M)=(**).$

Macierz M można przedstawić w postaci $M=U^{†}{M}^{D}U$ gdzie $M^D$ jest macierzą diagonalną, a $U{U}^{†}=1$

$Z=(**)=Tr(U^{†}{M}^{D}U{U}^{†}{M}^{D}U{U}^{†}\dots M^{D}U)=Tr(U^{†}(M^D{)}^{N}U)=(***).$

$M^D$ jest macierzą diagonalną, jest więc postaci:

$M^D=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right).$

Natomiast $(M^D{)}^N=\left(\begin{array}{cc}{{\lambda }_1}^N& 0\\ 0& {{\lambda }_2}^N\end{array}\right).$

Wyznaczenie wartości własnych dla M:

$\begin{array}{cc}\det M& =\det \left(\begin{array}{cc}\exp (\beta J+\beta h)-\lambda & \exp (-\beta J)\\ \exp (-\beta J)& \exp (\beta J-\beta h)-\lambda \end{array}\right)\\ [.5em]& =(\exp (\beta J+\beta h)-\lambda )(\exp (\beta J-\beta h)-\lambda )-\exp (2\beta J)\\ [.5em]& =2\sinh (2\beta J)-\lambda 2\exp (\beta J)\cosh (\beta h)+{\lambda }^2,\end{array}$

${\lambda }_1=\exp (\beta J)[\cosh (\beta h)+\sqrt{{\cosh }^2(\beta h)-2\exp (-2\beta J)\sinh (2\beta J)}],$

${\lambda }_2=\exp (\beta J)[\cosh (\beta h)-\sqrt{{\cosh }^2(\beta h)-2\exp (-2\beta J)\sinh (2\beta J)}].$

Wybierając największą wartość własną macierzy:

${\lambda }_1>{\lambda }_2,$

otrzymujemy, że suma statystyczna jest równa:

$Z=(***)={{\lambda }_1}^N+{{\lambda }_2}^N={{\lambda }_1}^N\cdot (1+{\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}\right)}^N).$

Jeśli ${\lambda }_2<{\lambda }_1$ to: ${\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}\right)}^N\ll 1.$

$Z={{\lambda }_1}^N.$

Faza stabilna jest określona przez największą wartość własną. Przejście fazowe (np. między fazą ferro i paramagnetyczną) zachodzi wtedy, gdy zrównują się wartości własne.

Namagnesowanie w takim wypadku jest równe:

$\begin{array}{cc}m& =\frac{1}{N}kY\frac{\partial }{\partial h}\ln Z\\ [.5em]& =\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial h}\ln \exp (\beta h)\cdot [\cosh (\beta h)+\sqrt{{\cosh }^2(\beta h)-2\exp (-2\beta J)\sinh (2\beta J)}]\\ [.5em]& =\frac{1}{\beta }\frac{1}{{\lambda }_1}\exp (\beta J)\cdot [\beta \sinh (\beta h)+\frac{2\beta \sinh (\beta h)\cosh (\beta h)}{2\sqrt{{\cosh }^2(\beta h)-2\exp (-2\beta J)\sinh (2\beta J)}}]\\ [.5em]& =\frac{\exp (\beta J)\sinh (\beta h)}{{\lambda }_1}\cdot \left[\frac{\sqrt{{\cosh }^2(\beta h)-2\exp (-2\beta J)\sinh (2\beta J)}+\cosh (\beta h)}{\sqrt{{\cosh }^2(\beta h)-2\exp (-2\beta J)\sinh (2\beta J)}}\right].\end{array}$

Czyli ostatecznie namagnesowanie:

$m=\frac{\sinh (\beta h)}{\sqrt{{\cosh }^2(\beta h)-2\exp (-2\beta J)\sinh (2\beta J)}}.$

Bez zewnętrznego pola magnetycznego

Dla $h=0$ (czyli braku zewnętrznego pola magnetycznego) $m=0,$ czyli nie ma ferromagnetyzmu w układzie jednowymiarowym.