Nierówność Jensena

Nierówność Jensena przedstawiona graficznie

Nierówność Jensena – nierówność między wartością funkcji wypukłej określonej dla kombinacji wypukłej pewnych argumentów a wypukłą kombinacją wartości funkcji w tych argumentach, przy czym obie kombinacje wypukłe mają te same współczynniki. Nazwa nierówności pochodzi od nazwiska Johana Jensena, duńskiego matematyka i inżyniera.

Twierdzenie

Dla dowolnych liczb $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in [0, 1],$ nazywanych wagami, spełniających warunek:

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 1,

dla dowolnego przedziału $P \subseteq ℝ,$ dowolnych liczb

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in P

i dowolnej funkcji $f$ wypukłej w $P,$ prawdziwa jest nierówność^[1]:

f (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i}) ⩽ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} f (x_{i}) .

Dla funkcji wklęsłych prawdziwa jest nierówność w przeciwną stronę.

Dowód

Plik:Jensen's Inequality Proof Without Words.png

Obrazkowy dowód nierówności Jensena. Punkt będący średnią ważoną punktów

(x_{i}, φ (x_{i}))

znajduje się w ich otoczce wypukłej, która (z wypukłości) leży nad wykresem funkcji.

Dowód indukcyjny ze względu na $n .$

Dla $n = 1$ nierówność jest oczywista. Dla $n = 2$ uzyskujemy definicję funkcji wypukłej.

Niech $n ⩾ 2 .$ Założenie indukcyjne jest następujące:

f (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i}) ⩽ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} f (x_{i}),

gdzie $x_{i}$ należą do przedziału $P$ oraz $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 1 .$

Teza indukcyjna to:

f (\sum_{i = 1}^{n + 1} b_{i} x_{i}) ⩽ \sum_{i = 1}^{n + 1} b_{i} f (x_{i}),

gdzie $x_{i}$ należą do przedziału $P$ oraz $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n + 1} = 1 .$

Niech $x_{i} \in P$ oraz $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n + 1} = 1 .$ Bez straty ogólności można założyć, że $b_{n + 1} \neq 0 .$ Wówczas:

f (\sum_{i = 1}^{n + 1} b_{i} x_{i}) = f (b_{1} x_{1} + \dots + b_{n + 1} x_{n + 1}) =

= f (b_{1} x_{1} + \dots + b_{n - 1} x_{n - 1} + (b_{n} + b_{n + 1}) (\frac{b_{n}}{b_{n} + b_{n + 1}} x_{n} + \frac{b_{n + 1}}{b_{n} + b_{n + 1}} x_{n + 1})) ⩽

Korzystając z założenia indukcyjnego:

⩽ b_{1} f (x_{1}) + \dots + b_{n - 1} f (x_{n - 1}) + (b_{n} + b_{n + 1}) f (\frac{b_{n}}{b_{n} + b_{n + 1}} x_{n} + \frac{b_{n + 1}}{b_{n} + b_{n + 1}} x_{n + 1}) ⩽

Z definicji funkcji wypukłej:

⩽ b_{1} f (x_{1}) + \dots + b_{n - 1} f (x_{n - 1}) + (b_{n} + b_{n + 1}) \frac{b_{n}}{b_{n} + b_{n + 1}} f (x_{n}) + (b_{n} + b_{n + 1}) \frac{b_{n + 1}}{b_{n} + b_{n + 1}} f (x_{n + 1})

= b_{1} f (x_{1}) + \dots + b_{n - 1} f (x_{n - 1}) + b_{n} f (x_{n}) + b_{n + 1} f (x_{n + 1}) = \sum_{i = 1}^{n + 1} b_{i} f (x_{i}),

co kończy dowód.

Funkcja wklęsła

Aby udowodnić nierówność gdy $f$ jest funkcją wklęsłą, wystarczy zauważyć, że $- f$ jest funkcją wypukłą. Stąd oraz nierówności Jensena:

(- f) (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i}) ⩽ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} (- f) (x_{i}),

co jest równoważne nierówności

f (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i}) ⩾ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} f (x_{i}) .

Uwagi

W szczególności dla $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = 1 / n$ nierówność przyjmuje postać:
$f (\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n}) ⩽ \frac{\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i})}{n} .$
Korzystając z nierówności Jensena, można udowodnić dużą liczbę nierówności, na przykład nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną. Nierówność ma też wiele zastosowań w fizyce i rachunku prawdopodobieństwa.