Elementy minimalny i maksymalny

Półprosta przedstawiająca liczby naturalne $(\mathbb{N})$ z zerem $(0)$ – wariant osi liczbowej. Elementem minimalnym jest tu zero (0), a elementu maksymalnego nie ma

Diagram Hassego przykładowego posetu z dwoma elementami minimalnymi (a, b) i dwoma maksymalnymi (c, d)

Diagram Hassego dzielników liczby 60 z relacją podzielności. Zbiór zaznaczony na czerwono, czyli {1, 2, 3, 4}, ma jeden element minimalny (1) i dwa maksymalne (3, 4)

Elementem minimalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym $(P,⩽)$ nazywamy każdy taki element $x,$ że nie ma w $P$ elementów mniejszych od niego. Symbolicznie:

$\mathrm{\forall }y\in P:y⩽x\Rightarrow x=y.$

Dualnie, elementem maksymalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym $(P,⩽)$ nazywamy każdy taki element $x,$ że nie ma w $P$ elementów większych od niego. Symbolicznie:

$\mathrm{\forall }y\in P:x⩽y\Rightarrow x=y.$

Uwagi

• W zbiorze częściowo uporządkowanym może istnieć więcej niż jeden element minimalny.
• Element minimalny nie musi być najmniejszym. Jeśli jednak w zbiorze istnieje element najmniejszy, to jest on równocześnie minimalny, i jest to wtedy jedyny element minimalny w tym zbiorze. Jeżeli w zbiorze istnieje dokładnie jeden element minimalny, to nie musi on być elementem najmniejszym.

Analogiczne własności ma element maksymalny.

Przykłady

• Rozważmy zbiór $\mathbb{N}$ $\cup$ $\{-1\},$ gdzie $\mathbb{N}$ oznacza zbiór liczb naturalnych Szablon:Nowrap a relacja $\preccurlyeq$ częściowego porządku określona jest następująco:

$a\preccurlyeq b⟺(a⩽b,a,b\in \mathbb{N}\vee a=b=-1)$

Z definicji wynika m.in., że $-1\preccurlyeq -1,3\preccurlyeq 7$  i nieprawda, że np. $-1\preccurlyeq 2.$

Jedynym elementem maksymalnym tej relacji jest −1, elementami minimalnymi są Szablon:Nowrap. W porządku tym nie ma elementu najmniejszego ani największego.

• W zbiorze wszystkich rzek rozważmy relację częściowego porządku ‘<’ zdefiniowaną jako jest dopływem. Mamy na przykład:

„Białka” < „Dunajec” < „Wisła”

„Poprad” < „Dunajec” < „Wisła”

„Noteć” < „Warta” < „Odra”

„Moskwa” < „Oka” < „Wołga”

„Otava” < „Wełtawa” < „Łaba”

Elementem maksymalnym w tym porządku jest każda rzeka, która nie jest dopływem innej rzeki – Wisła, Odra... Z przykładu widać, że istnieje wiele elementów maksymalnych i nie ma największego (byłaby nim rzeka, do której wpadają wszystkie inne). Elementami minimalnymi porządku są wszystkie rzeki, które nie mają dopływów, a elementu najmniejszego nie ma (byłaby nim rzeka wpadająca do każdej innej – bezpośrednio lub poprzez inny dopływ).

Uwaga: aby uznać ten przykład za poprawny model, należałoby przyjąć, że każda rzeka wpada do siebie samej.

Zobacz też

• elementy najmniejszy i największy
• funkcje minimum i maksimum

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2025-01-30].