Czynnik całkujący

Czynnik całkujący (metoda czynnika całkującego) – metoda pozwalająca znaleźć rozwiązania niektórych równań różniczkowych pierwszego rzędu poprzez sprowadzenie ich do równań różniczkowych zupełnych.

Niech dane będzie równanie różniczkowe

Szablon:Wzór

lub, w alternatywnej postaci,

Szablon:Wzór

gdzie funkcje $P$ i $Q$ są klasy $C^1$ na pewnym obszarze jednospójnym $D$ i w żadnym punkcie tego obszaru nie zerują się jednocześnie. Ponadto załóżmy, że zachodzi

$\frac{\partial P}{\partial y}\ne \frac{\partial Q}{\partial x}$

(warunek ten oznacza, że równanie Szablon:LinkWzór nie jest równaniem zupełnym).

Metoda czynnika całkującego polega na znalezieniu różnej od zera funkcji $\mu (x,y)$ takiej, że po przemnożeniu przez nią równania Szablon:LinkWzór, stanie się ono równaniem zupełnym:

Szablon:Wzór

dla którego będzie zachodziło

Szablon:Wzór

Z powyższych wzorów wynika, że szukana funkcja musi posiadać pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.

Tak sprowadzone równanie, będące równaniem zupełnym daje się już scałkować, istnieje więc funkcja $U(x,y),$ dla której $U(x,y)=C$ jest całką (rozwiązaniem) równania Szablon:LinkWzór, a zarazem i Szablon:LinkWzór. Znajdywanie czynnika całkującego prowadzi do rozwiązywania równania Szablon:LinkWzór pierwszego rzędu o pochodnych cząstkowych, z niewiadomą funkcją $U(x,y),$ które w ogólności jest trudne do rozwiązania.

Niektóre przypadki postaci czynnika całkującego

Czynnik całkujący zależny tylko od $x$

Przypuśćmy, że równanie Szablon:LinkWzór ma czynnik całkujący zależny tylko od zmiennej $x,$ $\mu (x).$ Oznacza, to że musi on spełniać równanie

Szablon:Wzór

jako że $\frac{\partial \mu }{\partial y}=0.$ Zakładając, że $Q\ne 0,$ otrzymujemy

Szablon:Wzór

Aby istniał czynnik całkujący $\mu (x)$ konieczne jest, by prawa strona równania Szablon:LinkWzór była zależna tylko od zmiennej $x:$

Szablon:Wzór

Wtedy, rozwiązując równanie o zmiennych rozdzielonych Szablon:LinkWzór otrzymujemy, że

Szablon:Wzór

gdzie $C$ jest dowolną, niezerową liczbą rzeczywistą, a $\exp$ to oznaczenie funkcji eksponencjalnej. Każda z tak otrzymanych funkcji $\mu (x)$ jest czynnikiem całkującym, zwyczajowo więc przyjmuje się, że $C=1.$

Przykład

Niech dane będzie równanie liniowe

Szablon:Wzór

Warunek Szablon:LinkWzór jest spełniony, ponieważ w naszym przypadku $P(x,y)=p(x)y(x)-q(x)$ i $Q(x,y)=1$ oraz

$\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q}=p(x),$

tak więc czynnikiem całkującym równania Szablon:LinkWzór jest

$\mu (x)=\exp (\int p(x)dx).$

Czynnik całkujący zależny tylko od $y$

Postępując analogicznie, jak w poprzednim przykładzie, czynnik całkujący równania Szablon:LinkWzór zależny od $y$ istnieć będzie tylko wtedy, gdy $P\ne 0$ oraz prawa strona równania

Szablon:Wzór

będzie zależna tylko od $y.$ Wtedy czynnik całkujący będzie postaci

Szablon:Wzór

gdzie ponownie $C$ jest dowolną, niezerową liczbą rzeczywistą, a $\psi (y)$ to prawa strona równania Szablon:LinkWzór.

Czynnik całkujący zależny od $x+y$

Ponownie, załóżmy, że równanie Szablon:LinkWzór ma czynnik całkujący postaci $\mu =\mu (S(x,y)),$ gdzie $S(x,y)=x+y.$ Zauważmy, że funkcja $\mu$ jest formalnie funkcją zmiennej $S.$ Warunek Szablon:LinkWzór przyjmuje postać

$\frac{\partial P}{\partial y}\mu +P\frac{d\mu }{dS}\frac{\partial S}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\mu +Q\frac{d\mu }{dS}\frac{\partial S}{\partial x}$

$\mu {\text{'}}_S(P\frac{\partial S}{\partial y}-Q\frac{\partial S}{\partial x})=\mu (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}).$

Ponieważ $\frac{\partial S}{\partial x}=\frac{\partial S}{\partial y}=1,$ zakładając, że $P-Q\ne 0$ warunkiem na to, by funkcja $\mu$ była czynnikiem całkującym Szablon:LinkWzór jest, aby prawa strona równania

Szablon:Wzór

zależała tylko od $S,$ czyli od $x+y.$ Czynnik całkujący ma wtedy postać

$\mu =\exp (\int \psi (S)dS),$

gdzie $\psi (S),$ jak poprzednio jest prawą stroną Szablon:LinkWzór.

Przykład

Rozpatrzmy równanie

Szablon:Wzór

W naszym przypadku $P(x,y)=3x+4y,$ $Q(x,y)=-2x-y$ oraz

$\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{Q-P}=\frac{6}{-5x-5y}=\frac{-6}{5(x+y)}$

Prawa strona równania jest zależna tylko od $S(x,y)=x+y,$ więc czynnik całkujący będzie postaci

$\mu =\exp (\int \frac{-6}{5S}dS)=\exp (-\frac{6}{5}\ln S)=S^{-\frac{6}{5}}=(x+y{)}^{-\frac{6}{5}}.$

Przypadek ogólny

Załóżmy w końcu że równanie Szablon:LinkWzór ma czynnik całkujący postaci $\mu =\mu (S(x,y)),$ gdzie $S(x,y)$ jest dowolną funkcją, posiadającą pochodne cząstkowe i dla której zachodzi $QS{\text{'}}_x-PS{\text{'}}_y\ne 0.$ Warunek Szablon:LinkWzór przyjmuje ponownie postać

$\frac{\partial P}{\partial y}\mu +P\frac{d\mu }{dS}\frac{\partial S}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\mu +Q\frac{d\mu }{dS}\frac{\partial S}{\partial x},$

a warunkiem, by $\mu$ była czynnikiem całkującym Szablon:LinkWzór jest, by prawa strona równania

Szablon:Wzór

była zależna jedynie od $S.$

Istnienie i jednoznaczność czynnika całkującego

Zakładając istnienie całki ogólnej równania Szablon:LinkWzór, przy poprzednich założeniach można wykazaćSzablon:OdnSzablon:Odn, że każde równanie postaci Szablon:LinkWzór ma czynnik całkujący.

Z postaci czynnika całkującego

Szablon:Wzór

wynika, że dla dowolnej, niezerowej liczby rzeczywistej $C,$ $\mu$ jest czynnikiem całkującym. Oprócz tego, jeśli $\mu$ jest czynnikiem całkującym równania Szablon:LinkWzór, to

${\mu }_1=\mu \phi (U),$

gdzie $U(x,y)$ jest całką ogólną równania Szablon:LinkWzór a $\phi$ jest dowolną, niezerową funkcją mającą ciągłą pochodną, także jest czynnikiem całkującym Szablon:LinkWzór. W istocie, pomiędzy każdymi dwoma czynnikami całkującymi równania Szablon:LinkWzór zachodzi zależność Szablon:LinkWzórSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj stronę