Twierdzenie Rao-Blackwella

Twierdzenie Rao-Blackwella:

Niech A będzie wypukłym zbiorem decyzji, i niech $L(a,\theta )$ będzie wypukłą funkcją parametru $a,$ dla każdego ustalonego $\theta$ ze zbioru parametrów. Niech $T$ będzie statystyką dostateczną a $d$ pewną regułą decyzyjną wtedy $d_0=E(d|T)$ jest regułą decyzyjną zależną tylko od $T$ i nie gorszą od $d.$

Dowód:

Lemat:

Niech $C$ będzie zbiorem wypukłym, a $Z$ zmienną losową taką, że $P(Z\in C)=1$ wtedy $EZ\in C$ o ile istnieje.

A jest zbiorem wypukłym, a więc $d_0\in A,$ czyli $d_0$ jest regułą decyzyjną.

$T$ jest statystyką dostateczną, więc można wybrać wersję warunkowej wartości oczekiwanej niezależną od $\theta .$

$R(d,\vartheta )=EL(d,\vartheta )=E[E(L(d,\vartheta )|T]⩾E[L(E(d|T),\vartheta )]=E(d_0,\vartheta )=R(d_0,\vartheta )$

Co kończy dowód.

Oczywistym wnioskiem jest także to, że klasa reguł decyzyjnych jest istotnie zupełna