Relacja spójna

Relacja spójna, relacja liniowaSzablon:Fakt – typ relacji dwuargumentowej na jednym zbiorze definiowany dwojako – w sensie szerokim i wąskim; oba z nich dotyczą wiązania każdej pary elementów zbioru. Formalnie:

• relacja $\varrho \subset X\times X$ jest spójna, jeśli zachodzi alternatywa:

$\mathrm{\forall }x,y\in X:(x,y)\in \varrho \vee (y,x)\in \varrho \vee x=y.$

Oznacza to, że dla każdych dwóch różnych elementów $x,y\in X$ zachodzi $x\varrho y$ lub $y\varrho x.$ Inny zapisSzablon:Odn:

$x\ne y\Rightarrow x\varrho y\vee y\varrho x.$

• Niektóre źródła podają definicję mocniejszą (węższą)Szablon:Odn:

$\mathrm{\forall }x,y\in X:(x,y)\in \varrho \vee (y,x)\in \varrho .$

Pociąga ona za sobą zwrotność.

Przez spójność definiuje się porządek liniowy.

Przykłady

Relacje spójne w sensie szerokim

• Każda relacja pełna.

• Relacja pusta na zbiorze pustymSzablon:Fakt.

• Relacja $⩽$ na zbiorze liczb naturalnych. Jeśli weźmie się dowolne dwie liczby naturalne, to zawsze jedna z nich jest niewiększa od drugiej. Relacja ta spełnia też węższą definicję.

• Relacja $<$ na zbiorze liczb naturalnych spełnia tylko szerszą definicję.

Relacje niespójne

• Relacja pusta na zbiorze niepustymSzablon:Fakt.

• Podzielność na zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Na przykład żadna para różnych liczb pierwszych nie spełnia takiej relacji.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę