Residuum funkcji holomorficznej

Residuum (z łac. „reszta”, od neutr. residuus – pozostałość, od residēre – pozostawać) funkcji $f$ w punkcie $z_0$ – pierwszy współczynnik części osobliwej rozwinięcia w szereg Laurenta danej funkcji $f$ holomorficznej w pewnym pierścieniu otaczającym punkt $z_0$.

Innymi słowy, jeśli $f$ jest funkcją holomorficzną w pewnym pierścieniu otaczającym $z_0,$ to jej residuum w punkcie $z_0$ nazywa się współczynnik $a_{-1}$ w jej rozwinięciu $f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$ w szereg Laurenta w punkcie $z_0.$

Równoważna definicja: residuum w punkcie $z_0$ funkcji $f$ holomorficznej w otoczeniu nakłutym punktu $z_0$ nazywamy wartość:

$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(f,z_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\oint }f(z)\mathrm{d}z,$

gdzie $\gamma$ jest krzywą zwykłą zamkniętą dodatnio zorientowaną okrążającą punkt $z_0.$

Zachodzi też wzór

$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(f,z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}(f(z)(z-z_0{)}^n),$

gdzie $n$ to rząd bieguna w punkcie $z_0.$

Residuum jest liczbą zespoloną opisującą zachowanie całek po konturach analitycznej funkcji f(z) wokół punktu osobliwości. Twierdzenie o residuach pomaga przy obliczaniu całek po konturach.

Rozważmy przykład całki po konturze:

$\underset{C}{\oint }\frac{e^z}{z^5}\mathrm{d}z,$

gdzie $C$ jest dodatnio zorientowanym okręgiem ze środkiem w 0.

Obliczmy tę całkę bez używania standardowych twierdzeń o całkowaniu. Szereg Taylora dla $e^z$ jest dobrze znany, więc wstawiamy go do całki. Otrzymamy:

$\underset{C}{\oint }\frac{1}{z^5}(1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}+\frac{z^6}{6!}+\dots )\mathrm{d}z.$

Dołączmy składnik $1/z^5$ do szeregu, otrzymamy:

$\underset{C}{\oint }(\frac{1}{z^5}+\frac{z}{z^5}+\frac{z^2}{2!z^5}+\frac{z^3}{3!z^5}+\frac{z^4}{4!z^5}+\frac{z^5}{5!z^5}+\frac{z^6}{6!z^5}+\dots )\mathrm{d}z,$

$\underset{C}{\oint }(\frac{1}{z^5}+\frac{1}{z^4}+\frac{1}{2!z^3}+\frac{1}{3!z^2}+\frac{1}{4!z}+\frac{1}{5!}+\frac{z}{6!}+\dots )\mathrm{d}z.$

Nasza całka otrzyma przyjemniejszą formę. Zauważmy, że:

$\underset{C}{\oint }\frac{1}{z^a}\mathrm{d}z=0,$ gdy $a\in \mathbb{Z}\setminus \{1\}.$

Teraz całka wokół $C$ dla każdego składnika ze współczynnikiem innym od $c{z}^{-1}$ staje się 0, i całość redukuje się do:

$\underset{C}{\oint }\frac{e^z}{z^5}\mathrm{d}z=\underset{C}{\oint }\frac{1}{4!z}\mathrm{d}z.$

I w efekcie za pomocą wzoru całkowego Cauchy’ego otrzymujemy równość:

$\underset{C}{\oint }\frac{e^z}{z^5}\mathrm{d}z=\underset{C}{\oint }\frac{1}{4!z}\mathrm{d}z=\frac{1}{4!}(2\pi i).$

Wartość $1/4!$ jest znana jako residuum z $e^z/z^5$ w $z=0,$ a jego notacja to

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_0\frac{e^z}{z^5},\text{ lub }{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z=0}\frac{e^z}{z^5},\text{ lub }\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(f,0).$

Zobacz też

• całka krzywoliniowa (twierdzenie Cauchy’ego)