Macierz sprzężona

Szablon:Dopracować Macierz sprzężona do macierzy $A$ – macierz oznaczana $\bar{A},$ której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy $A.$

Definicja formalna

Sprzężeniem macierzy nazywamy odwzorowanie

$\bar{\cdot }:M_{n\times m}(ℂ)\to M_{n\times m}(ℂ)$

takie, że dla danej macierzy $A$ zachodzi

$A=(a_{ij})\mapsto \bar{A}=(\overline{a_{ij}}).$

Przykład

$A=\left[\begin{array}{ccc}2+3i& 1-2i& -1+2i\\ 0& -2& 3+2i\\ -i& 2-i& 2+i\end{array}\right]\mapsto \bar{A}=\left[\begin{array}{ccc}2-3i& 1+2i& -1-2i\\ 0& -2& 3-2i\\ i& 2+i& 2-i\end{array}\right]$

Własności

Zachodzą następujące własności:

• $A,B\in M_{n\times m}(ℂ)⟹\overline{A+B}=\bar{A}+\bar{B}$
• $a\in ℂ⟹\overline{a\cdot A}=\bar{a}\cdot \bar{A}$
• $A\in M_{n\times m}(ℂ)\wedge B\in M_{m\times p}(ℂ)⟹\overline{A\cdot B}=\bar{A}\cdot \bar{B}$
• $\stackrel{-1}{\bar{A}}=\overline{A^{-1}}$ dla macierzy odwracalnej $A$
• $A\in M_{n\times m}(ℝ)⟹\bar{A}=A$
• $\det \bar{A}=\overline{\det A}$ dla $A\in M_{n\times n}(ℂ)$

Zobacz też

• macierz hermitowska
• macierz transponowana
• sprzężenie hermitowskie macierzy