Twierdzenie tangensów

Twierdzenie tangensów, wzór tangensów, twierdzenie Regiomontana – twierdzenie określające zależności między kątami i bokami trójkąta.

Twierdzenie

Jeśli $a$ i $b$ są długościami boków trójkąta, a $\alpha$ i $\beta$ są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność:

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{tg}\frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{tg}\frac{\alpha +\beta }{2}}.$

Dowód

Z twierdzenia sinusów wynikają równości:

$a=2R\sin \alpha$ i $b=2R\sin \beta ,$

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{2R\sin \alpha -2R\sin \beta }{2R\sin \alpha +2R\sin \beta }=\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }.$

Korzystając z wzoru na sumę sinusów i tożsamości $\mathrm{tg}\phi =\frac{\sin \phi }{\cos \phi },$ otrzymujemy

$\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }=\frac{2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}}{2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}=\frac{\mathrm{tg}\frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{tg}\frac{\alpha +\beta }{2}}.$

Twierdzenie tangensów w trygonometrii sferycznej

Dla trójkątów sferycznych obowiązuje analogiczne twierdzenie:

Jeśli $a$ i $b$ są długościami boków trójkąta sferycznego, a $\alpha$ i $\beta$ są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność:

$\frac{\mathrm{tg}\frac{a-b}{2}}{\mathrm{tg}\frac{a+b}{2}}=\frac{\mathrm{tg}\frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{tg}\frac{\alpha +\beta }{2}},$

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].