Wielomiany Legendre’a

Wielomiany Legendre’a (nieunormowane) – wielomiany określone wzorem (Rodriguesa)

P_{n} = \frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{2} - 1)^{n} (n = 0, 1, \dots) .

Można je również zapisać w jawnej postaci

P_{n} (x) = \frac{1}{2^{n}} \sum_{i = 0}^{[\frac{n}{2}]} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) (\binom{2 n - 2 i}{n}) x^{n - 2 i} .

Ich nazwa pochodzi od nazwiska Adriena-Marie Legendre’a.

Funkcja generująca

Wielomiany Legendre’a są współczynnikami w rozwinięciu w szereg Maclaurina funkcji G(x,t) postaci:

G (x, t) = (1 - 2 x t + t^{2})^{- 1 / 2} .

Zachodzi wzór:

G (x, t) = (1 - 2 x t + t^{2})^{- 1 / 2} = \sum_{l = 0}^{\infty} P_{l} (x) t^{l} .

P_{n + 1} (x) = \frac{2 n + 1}{n + 1} x P_{n} (x) - \frac{n}{n + 1} P_{n - 1} (x) (n = 1, 2, \dots) .

ortogonalność z wagą $p (x) = 1$ na odcinku $[- 1, 1]$
$\int_{- 1}^{1} P_{m} (x) P_{n} (x) d x = \frac{2}{2 n + 1} δ_{m n},$ a zatem układ ${\sqrt{n + \frac{1}{2}} P_{n} : n \in ℕ}$ jest układem ortonormalnym w przedziale [-1,1].

Poniżej wymieniono kilka początkowych wielomianów Legendre’a:

P_{0} (x) = 1

P_{1} (x) = x

P_{2} (x) = \frac{1}{2} (3 x^{2} - 1)

P_{3} (x) = \frac{1}{2} (5 x^{3} - 3 x)

P_{4} (x) = \frac{1}{8} (35 x^{4} - 30 x^{2} + 3)

P_{5} (x) = \frac{1}{8} (63 x^{5} - 70 x^{3} + 15 x)

P_{6} (x) = \frac{1}{16} (231 x^{6} - 315 x^{4} + 105 x^{2} - 5)

P_{7} (x) = \frac{1}{16} (429 x^{7} - 693 x^{5} + 315 x^{3} - 35 x)

P_{8} (x) = \frac{1}{128} (6435 x^{8} - 12012 x^{6} + 6930 x^{4} - 1260 x^{2} + 35)

P_{9} (x) = \frac{1}{128} (12155 x^{9} - 25740 x^{7} + 18018 x^{5} - 4620 x^{3} + 315 x)

P_{10} (x) = \frac{1}{256} (46189 x^{10} - 109395 x^{8} + 90090 x^{6} - 30030 x^{4} + 3465 x^{2} - 63)

P_{11} (x) = \frac{1}{256} (88179 x^{11} - 230945 x^{9} + 218790 x^{7} - 90090 x^{5} + 15015 x^{3} - 693 x)

Z wielomianami Legendre’a związane są stowarzyszone funkcje Legendre’a