Reguła łańcuchowa

Reguła łańcuchowa – reguła pozwalająca obliczać pochodne funkcji złożonych, oparta na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej.

Twierdzenie dla funkcji jednej zmiennej

Reguła łańcuchowa w wypadku złożenia kilku funkcji

Niech $f,g:ℝ\to ℝ$ będą funkcjami zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:

• $f$ ma w punkcie $x$ pochodną $f^{\prime }(x)$ oraz
• $g$ ma w punkcie $y=f(x)$ pochodną $g^{\prime }(y),$

to funkcja złożona $g\circ f$ ma w punkcie $x$ pochodną równą $g^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x).$

Innymi słowy:

$(f\circ g{)}^{\prime }=(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)=(f^{\prime }\circ g)(x)\cdot g^{\prime }(x).$

Złożenie wielu funkcji

Jeśli funkcja $f:ℝ\to ℝ$ jest zdefiniowana jako

$f(x)=(f_1\circ f_2\circ \dots \circ f_n)(x),$

to jej pochodna $f^{\prime }$ ma następującą postać:

$f^{\prime }(x)=({f_1}^{\prime }\circ f_2\circ \dots \circ f_n)(x)\cdot ({f_2}^{\prime }\circ f_3\circ \dots \circ f_n)(x)\cdot \dots \cdot {f_n}^{\prime }(x)=\prod _{i=1}^n(f_i^{\text{'}}\circ f_{i+1}\circ \dots \circ f_n)(x).$

Notacja Leibniza

W notacji Leibniza reguła łańcuchowa jest łatwa do zapamiętania, bo przypomina działania na zwykłych ułamkach. Jeżeli $y=f(g(x)),$ to wprowadzając pomocniczą zmienną $t$ na oznaczenie $g(x)$ mamy $y=f(t)$ i wówczas:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}\cdot \frac{dy}{dt}.$

Przykłady

Przykład 1

$(\cos x^3{)}^{\prime }=(-\sin x^3)\cdot (x^3{)}^{\prime }=(-\sin x^3)\cdot (3x^2)=-3x^2\sin x^3.$

Pochodne obliczamy od zewnątrz: pochodną „cosinusa” jest „minus sinus” i stąd czynnik $-\sin x^3;$ jednak argument cosinusa jest funkcją $x^3,$ zatem wynik cząstkowy $-\sin x^3$ mnożymy przez pochodną tej funkcji, czyli $3x^2.$

Przykład 2

$((\sin x^3{)}^2{)}^{\prime }=2(\sin x^3)\cdot (\sin x^3{)}^{\prime }=2(\sin x^3)\cdot (\cos x^3)\cdot (x^3{)}^{\prime }$$=2(\sin x^3)\cdot (\cos x^3)\cdot 3x^2=6x^2\cos x^3\sin x^3$

Jak wyżej, pochodne obliczamy od zewnątrz, a tu funkcją jest „podnoszenie zmiennej do kwadratu”. Jej pochodna to „dwa razy zmienna” i stąd $2\sin x^3.$ Jednak zmienna znów jest funkcją i otrzymany wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną: $(\sin x^3{)}^{\prime }.$ Tę obliczamy tak: pochodną „sinusa” jest „cosinus” – stąd $(\cos x^3);$ jednak i tu zmienna jest funkcją i także ten wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną $(x^3{)}^{\prime }.$

Powyższy przykład ilustruje jak wielokrotnie stosować regułę łańcuchową.

Przykład 3

Przykład specjalny, pochodna funkcji $f(x)=x^x.$ Zauważmy, że:

$x^x=e^{x\ln x},$

skąd

$(x^x{)}^{\prime }=(e^{x\ln x}{)}^{\prime }=(e^{x\ln x})\cdot (x\ln x{)}^{\prime }=(e^{x\ln x})\cdot (\ln x+\frac{x}{x})=x^x(\ln x+1).$

Twierdzenie dla funkcji dwóch zmiennych

Niech $f,g,h:{ℝ}^2\to ℝ$ będą funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:

• $g,h$ mają w punkcie $(x_0,y_0)$ pochodne cząstkowe, oraz
• $f(u,v)$ ma w punkcie $(u_0,v_0)$ pochodne cząstkowe, gdzie $u=g(x_0,y_0),v=h(x_0,y_0)$

to funkcja złożona $F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y))$ ma w punkcie $(x_0,y_0)$ pochodne cząstkowe równe

$F{\text{'}}_x(x_0,y_0)=f{\text{'}}_u(u_0,v_0)g{\text{'}}_x(x_0,y_0)+f{\text{'}}_v(u_0,v_0)h{\text{'}}_x(x_0,y_0),$

$F{\text{'}}_y(x_0,y_0)=f{\text{'}}_u(u_0,v_0)g{\text{'}}_y(x_0,y_0)+f{\text{'}}_v(u_0,v_0)h{\text{'}}_y(x_0,y_0).$

Uogólnienia

Szablon:Zobacz też Reguła łańcuchowa daje się uogólniać na wszystkie interesujące przypadki. Na przykład analogiczne twierdzenie można wypowiedzieć dla funkcji określonych między przestrzeniami unormowanymi. W szczególności, gdy funkcje działają między przestrzeniami ${ℝ}^n$ i ${ℝ}^m$ dla pewnych $n,m$ naturalnych, to reguła łańcuchowa sprowadza się do mnożenia odpowiednich macierzy Jacobiego. W pełnej ogólności twierdzenie o różniczkowaniu złożenia można sformułować w następujący sposób:

Niech $X,Y,Z$ będą przestrzeniami unormowanymi, $D\subseteq X,E\subseteq Y$ będą niepustymi, otwartymi podzbiorami oraz dane będą funkcje $f:D\to Y,g:E\to Z,$ że $f(D)\subseteq E.$ Jeśli $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0\in D,$ to złożenie $g\circ f$ jest różniczkowalne w punkcie $f(x_0)$ oraz

$d(g\circ f)(x_0)=dg(f(x_0))\circ df(x_0).$