Transformata Radona

Szablon:Dopracować Niech $f(x_1,\dots ,x_n)$ będzie ciągłą i wystarczająco szybko malejącą w nieskończoności funkcją zmiennych rzeczywistych $x_i\in ℝ$ dla $i=1,\dots ,n.$

Dla dowolnej hiperpłaszczyzny w ${ℝ}^n$

$\mathrm{\Gamma }=\{(x_1,\dots ,x_n):{\xi }_1{x}_1+\dots +{\xi }_n{x}_n=C\},$

gdzie ${\xi }_i\in ℝ,i=1,\dots ,n$ i $\sum _{i=1}^n{\xi }_i^2>0,C\in ℝ$

definiowana jest całka

$F({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n,C)=\frac{1}{(\sum _{i=1}^n{\xi }_i^2{)}^{1/2}}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(x_1,\dots ,x_n)d{V}_{\mathrm{\Gamma }}$

gdzie $V_{\mathrm{\Gamma }}$ jest $(n-1)$-wymiarową objętością na hiperpowierzchni $\mathrm{\Gamma }.$ Funkcję

$F({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n,C),({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n,C)\in {ℝ}^{n+1}$

nazywamy transformatą Radona lub przekształceniem Radona funkcji $f.$

Transformatę Radona zdefiniował austriacki matematyk Johann Radon w 1917 roku.

Transformata Radona jest funkcją jednorodną stopnia –1:

$F(\alpha {\xi }_1,\dots ,\alpha {\xi }_n,\alpha C)=\frac{1}{|\alpha |}F({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n,C).$

Związek z transformatą Fouriera $\hat{f}({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ funkcji $f:$

$F({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n,C)=\frac{1}{2\pi }\cdot \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{f}(\alpha {\xi }_1,\dots ,\alpha {\xi }_n)e^{-i\alpha C}d\alpha .$

Zobacz też

• transformacja Hougha
• transformacja Mojette

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę