Wielomiany Legendre’a

Wielomiany Legendre’a (nieunormowane) – wielomiany określone wzorem (Rodriguesa)

$P_n=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n(n=0,1,\dots ).$

Można je również zapisać w jawnej postaci

$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum _{i=0}^{[\frac{n}{2}]}(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2i}{n})x^{n-2i}.$

Ich nazwa pochodzi od nazwiska Adriena-Marie Legendre’a.

Funkcja generująca

Wielomiany Legendre’a są współczynnikami w rozwinięciu w szereg Maclaurina funkcji G(x,t) postaci:

$G(x,t)=(1-2xt+t^2{)}^{-1/2}.$

Zachodzi wzór:

$G(x,t)=(1-2xt+t^2{)}^{-1/2}=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_l(x)t^l.$

Własności

• zależność rekurencyjna

$P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}x{P}_n(x)-\frac{n}{n+1}{P}_{n-1}(x)(n=1,2,\dots ).$

• ortogonalność z wagą $p(x)=1$ na odcinku $[-1,1]$
• $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)dx=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn},$ a zatem układ $\{\sqrt{n+\frac{1}{2}}{P}_n:n\in \mathbb{N}\}$ jest układem ortonormalnym w przedziale [-1,1].

Wielomiany Legendre’a $P_n(x)$ dla $n=0,\dots ,5$

Kolejne wielomiany Legendre’a

Poniżej wymieniono kilka początkowych wielomianów Legendre’a:

$P_0(x)=1$

$P_1(x)=x$

$P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)$

$P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)$

$P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$

$P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$

$P_6(x)=\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)$

$P_7(x)=\frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)$

$P_8(x)=\frac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)$

$P_9(x)=\frac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)$

$P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)$

$P_{11}(x)=\frac{1}{256}(88179x^{11}-230945x^9+218790x^7-90090x^5+15015x^3-693x)$

Z wielomianami Legendre’a związane są stowarzyszone funkcje Legendre’a

Zobacz też

• formuła trójczłonowa
• wielomiany Czebyszewa
• wielomiany Hermite’a
• wielomiany Laguerre’a

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę