Zbiór graniczny

Zbiorem granicznym $C_{𝔇}(f,z_0)$ funkcji $f:𝔇\to ℂ$ w punkcie $z_0\in \overline{𝔇},$ gdzie $𝔇$ jest obszarem w płaszczyźnie zespolonej $ℂ,$ a $\overline{𝔇}$ jest domknięciem tego obszaru, jest zbiór punktów granicznych ciągów $\{f(z_n)\},$ gdzie $\{z_n\}\subset 𝔇\setminus \{z_0\}$:

$\{\alpha :\{z_n\}\subset 𝔇\setminus \{z_0\},\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n=z_0,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(z_n)=\alpha \}.$

Zbiór graniczny można także zdefiniować następująco

$C_{𝔇}(f,z_0)=\bigcap _{r>0}\overline{{𝔇}_r},$

gdzie ${𝔇}_r=f({\delta }_r\cap (𝔇\setminus \{z_0\})$ oraz ${\delta }_r=\{z:|z-z_0|<r\}$.

Jeśli zbiór graniczny składa się z jednego punktu, nazywa się zbiorem granicznym osobliwym.

Własności

• Zbiór $C_{𝔇}(f,z_0)$ jest zbiorem domkniętym.
• Pojęcie zbioru granicznego można zdefiniować dla prostej rzeczywistej oraz uogólnić na przestrzenie wektorowe nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych.