Wzór Larmora

Antena Yagi-Uda. Fale radiowe są emitowane z anteny poprzez przyspieszenie elektronów w tejże antenie. W tym koherentnym zjawisku całkowita moc wypromieniowana jest wprost proporcjonalna do kwadratu ilości przyspieszanych elektronów.

Wzór Larmora – wzór określający całkowitą moc wypromieniowaną przez nierelatywistyczny punkt posiadający ładunek elektryczny, kiedy przyspiesza bądź zwalnia. Znajduje zastosowanie w dziedzinie fizyki zwanej elektrodynamiką; nie dotyczy natomiast innego zjawiska nazwanego od tego samego uczonego, precesji Larmora w zjawisku klasycznego rezonansu magnetycznego. Wzór ten został wprowadzony po raz pierwszy przez J.J. Larmora w 1897 roku w kontekście teorii falowej natury światła.

Kiedy naładowana cząstka (przykładowo elektron bądź proton) przyspiesza, emituje energię w postaci fali elektromagnetycznej. Dla prędkości, które są małe w stosunku do prędkości światła, całkowitą wypromieniowaną moc określa wzór Larmora:

$P=\frac{2}{3}\frac{q^2{a}^2}{4\pi {\epsilon }_0{c}^3}=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$ (w jednostkach SI),

$P=\frac{2}{3}\frac{q^2{a}^2}{c^3}$ (w jednostkach cgs),

gdzie:

• $a$ – przyspieszenie cząstki,
• $q$ – ładunek elektryczny cząsteczki,
• $c$ – prędkość światła w próżni.

Relatywistyczne uogólnienie jest opisane przez potencjał Liénarda-Wiecherta.

W każdym systemie jednostkowym, moc wypromieniowana przez pojedynczy elektron może zostać wyrażona w dziedzinie promienia i masy elektronu jako:

$P=\frac{2}{3}\frac{m_e{r}_e{a}^2}{c}.$

Wyprowadzenie

Najpierw należy wprowadzić formułę pola elektrycznego i magnetycznego:

$𝐄(𝐫,t)=q{\left(\frac{𝐧-\mathit{\beta }}{{\gamma }^2(1-\mathit{\beta }\cdot 𝐧{)}^3{R}^2}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}+\frac{q}{c}{\left(\frac{𝐧\times [(𝐧-\mathit{\beta })\times \dot{\mathit{\beta }}]}{(1-\mathit{\beta }\cdot 𝐧{)}^{3}R}\right)}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}$

oraz

$𝐁=𝐧\times 𝐄,$

gdzie:

• $\mathit{\beta }$ – prędkość podzielona przez c,
• $\dot{\mathit{\beta }}$ – przyspieszenie podzielone przez c,
• $𝐧$ – wektor jednostkowy o kierunku takim jak kierunek wektora $𝐫-{𝐫}_0,$
• $R$ = $𝐫-{𝐫}_0$
• ${𝐫}_0$ – miejsce ładunku,
• $\gamma =(1-{\beta }^2{)}^{-1/2}.$

Wielkości po prawej stronie zależności są określane w czasie opóźnionym o czas dotarcia fali do określonego miejsca równy:

$t_{\text{r}}=t-R/c.$

Po prawej stronie równania jest suma pola elektrycznego związanego z prędkością i przyspieszeniem naładowanej cząstki. Pole prędkości zależy tylko od $\mathit{\beta },$ a pole przyspieszenia zależy od obu $\mathit{\beta }$ i $\dot{\mathit{\beta }}$ oraz kąta między nimi. Ponieważ pole prędkości jest proporcjonalne do $R^{-2},$ więc maleje bardzo szybko wraz ze wzrostem odległości. Z drugiej strony pole przyspieszenia jest proporcjonalne do $R-1,$ co oznacza, że maleje znacznie wolniej ze wzrostem odległości.

Można znaleźć gęstość strumienia energii pola promieniowania, obliczając jego wektor Poyntinga:

$𝐒=\frac{c}{4\pi }{𝐄}_{\text{a}}\times {𝐁}_{\text{a}},$

gdzie indeksy „a” podkreślają, że bierzemy tylko pole przyspieszenia. Podstawienie do wzoru zależności między polem magnetycznym i elektrycznym przy założeniu, że cząsteczka natychmiast spoczywa w czasie $t_{\text{r}},$ w uproszczeniu daje:

$𝐒=\frac{q^2}{4\pi c}{\left|\frac{𝐧\times (𝐧\times \dot{\mathit{\beta }})}{R}\right|}^2𝐧.$

Jeśli kąt między przyspieszeniem a wektorem obserwacyjnym oznaczy się przez $\theta$ i wprowadzi przyspieszenie $𝐚=\dot{\mathit{\beta }}c,$ wtedy moc emitowana na jednostkę kąta bryłowego jest równa:

$\frac{dP}{d\mathrm{\Omega }}=\frac{q^2}{4\pi c}\frac{{\sin }^2(\theta )a^2}{c^2}.$

Całkowitą moc promieniowania można uzyskać poprzez całkowanie tej wartości po wszystkich kątach, daje nam to formułę całkowitą wzoru Larmora:

$P=\frac{2}{3}\frac{q^2{a}^2}{c^3}.$

Bibliografia

• J. Larmor, On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium, „Philosophical Transactions of the Royal Society” 190, (1897) s. 205–300