Wzór Sauerbreya

Wzór Sauerbreya – wyprowadzona w 1959 r. zależność wiążąca częstotliwość oscylacji mikrowagi kwarcowej (QCM) z wielkością obciążającej ją masy.

Wzór ma zastosowanie dla układów pracujących w otoczeniu gazowym, jeśli masa obciążająca mikrowagę jest rozłożona równomiernie na jej powierzchni, wystarczająco sztywna i nie powoduje zmiany częstotliwości większej niż 5%.

Wzór Sauerbreya ma postać:

$\mathrm{\Delta }f=\frac{-2n\mathrm{\Delta }m{f}_0^2}{A\sqrt{{\rho }_q{\mu }_q}}=-\frac{2f_0^2}{A{\rho }_q{v}_q}\mathrm{\Delta }m,$

gdzie:

$f_0$ – częstotliwość środkowa mikrowagi [Hz],

$\mathrm{\Delta }f$ – zmiana częstotliwości środkowej [Hz],

$n$ – numer owertonu ($n=1,2,3...;$ zwykle $n=1$),

$\mathrm{\Delta }m$ – zmiana masy [g],

$A$ – aktywna (drgająca) powierzchnia mikrowagi [cm²],

${\rho }_q$ – gęstość kwarcu (${\rho }_q$ = 2,648 g/cm³),

${\mu }_q$ – moduł ścinania dla kwarcu (dla cięcia AT ${\mu }_q$ = 2,947·10¹¹ g·cm⁻¹·s⁻²),

${\nu }_q$ – prędkość fali poprzecznej w kwarcu [m/s].

Dla większych obciążeń (większych zmian częstotliwości) mikrowagi (ponad 5%) stosuje się inną zależność:

$\frac{\mathrm{\Delta }m}{A}=\frac{N_q{\rho }_q}{\pi Z{f}_L}{\mathrm{tg}}^{-1}[Z\cdot \mathrm{tg}\left(\pi \frac{f_U-f_L}{f_U}\right)],$

gdzie:

$f_L$ – częstotliwość rezonansowa obciążonej mikrowagi [Hz],

$f_U$ – częstotliwość rezonansowa nieobciążonej mikrowagi [Hz],

$N_q$ – stała częstotliwościowa (dla kwarcu o cięciu AT wynosi ona w przybliżeniu 1,668·10¹³ Hz·Å),

$\mathrm{\Delta }m$ – zmiana masy [g].

$Z=\sqrt{\left(\frac{{\rho }_q{\mu }_q}{{\rho }_f{\mu }_f}\right)}$

parametry A, ${\rho }_q,$ ${\mu }_q$ – jw.

W przypadku umieszczenia mikrowagi w cieczy zmianę jej częstotliwości pod wpływem zmiany masy obciążającej można wyznaczyć ze wzoru Kanazawy.