Warunek Lindeberga

Definicja

Powiemy, że schemat serii $(X_{n,k_n})$ spełnia warunek Lindeberga, jeśli dla każdego $ϵ>0$ zachodzi $L_n(ϵ)=\frac{1}{s_n^2}\sum _{k=1}^{k_n}E((X_{n,k}-E{X}_{n,k}{)}^2{\mathrm{𝟏}}_{\{|X_{n,k}-E{X}_{n,k}|>ϵs_n\}})\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0,$ gdzie $s_n^2=\sum _{k=1}^{k_n}{D}^2{X}_{n,k}.$

Konsekwencje

Jeśli spełniony jest warunek Lindeberga, to $(\underset{1⩽k⩽k_n}{\max }{\sigma }_{n,k})\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0,$ gdzie ${\sigma }_{n,k}=\sqrt{\frac{D^2{X}_{n,k}}{s_n^2}}.$

Dowód

Dowodzimy przez zaprzeczenie. Załóżmy, że $\mathrm{\exists }{\delta }_0>0$ taka, że $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(\underset{1⩽k⩽k_n}{\max }{\sigma }_{n,k})={\delta }_0.$

Wówczas istnieje ciąg $(a_n)$ liczb naturalnych spełniający:

Dla $\delta =\frac{{\delta }_0}{2}>0\mathrm{\forall }n\in 𝐍\mathrm{\exists }k:({\sigma }_{a_n,k}⩾\delta ⟺\sqrt{\frac{D^2{X}_{a_n,k}}{s_{a_n}^2}}⩾\delta ⟺D^2{X}_{a_n,k}⩾{\delta }^2{s}_{a_n}^2).$

Ostatnią nierówność możemy zapisać jako:

$D^2{X}_{a_n,k}=E(X_{a_n,k}-E{X}_{a_n,k}{)}^2=E(X_{a_n,k}-E{X}_{a_n,k}{)}^2{\mathrm{𝟏}}_{\{|X_{a_n,k}-E{X}_{a_n,k}|>ϵs_{a_n}\}}+E(X_{a_n,k}-E{X}_{a_n,k}{)}^2{\mathrm{𝟏}}_{\{|X_{a_n,k}-E{X}_{a_n,k}|⩽ϵs_{a_n}\}}⩾{\delta }^2{s}_{a_n}^2$ dla każdego $ϵ>0.$

Teraz z ostatniej nierówności otrzymujemy:

$E(X_{a_n,k}-E{X}_{a_n,k}{)}^2{\mathrm{𝟏}}_{\{|X_{a_n,k}-E{X}_{a_n,k}|>ϵs_{a_n}\}}⩾{\delta }^2{s}_{a_n}^2-E(X_{a_n,k}-E{X}_{a_n,k}{)}^2{\mathrm{𝟏}}_{\{|X_{a_n,k}-E{X}_{a_n,k}|⩽ϵs_{a_n}\}}⩾{\delta }^2{s}_{a_n}^2-{ϵ}^2{s}_{a_n}^2.$

Zatem:

$L_{a_n}(ϵ)⩾\frac{1}{s_{a_n}^2}E(X_{a_n,k}-E{X}_{a_n,k}{)}^2{\mathrm{𝟏}}_{\{|X_{a_n,k}-E{X}_{a_n,k}|>ϵs_{a_n}\}}⩾{\delta }^2-{ϵ}^2.$ Ale dla $ϵ<\delta$ ostatnia wartość jest zawsze dodatnia, niezależnie od n, co przeczy warunkowi Lindeberga.