Value at risk

Value at risk (lub wartość zagrożona ryzykiem) – miara ryzyka wyrażająca graniczny poziom straty znaleziony dla ustalonego $\alpha ,$ będącego prawdopodobieństwem jej osiągnięcia. Równoważną interpretacją tego pojęcia jest kwota gotówki jaką należy dodać do pozycji, aby prawdopodobieństwo jakiejkolwiek straty (wartości ujemnej) było mniejsze lub równe poziomowi $\alpha .$

Definicja

Niech $X$ oznacza wartość pewnego portfela aktywów, natomiast $\alpha$ pewien graniczny poziom prawdopodobieństwa. Wartość zagrożona ryzykiem zdefiniowana jest jako:

${\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{R}}_{\alpha }(X)=-\sup \{x\in ℝ:\text{P}(X⩽x)⩽\alpha \}=\inf \{x\in ℝ:\text{P}(X+x<0)⩽\alpha \}=-q_{\alpha }^{+}(X),$

gdzie $q_{\alpha }^{+}(X)$ jest górnym kwantylem rzędu $\alpha$ zmiennej $X.$

Własności

• jeśli $X⩾0,$ to ${\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{R}}_{\alpha }(X)⩽0,$
• niezmienniczość ze względu na przesunięcia – dla dowolnego $c\in ℝ$ zachodzi:

${\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{R}}_{\alpha }(X+c)={\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{R}}_{\alpha }(X)-c,$ gdzie

• dodatnia jednorodność: ${\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{R}}_{\alpha }(\lambda X)=\lambda {\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{R}}_{\alpha }(X)$ dla $\lambda ⩾0,$
• monotoniczność: $X⩾Y,$ to ${\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{R}}_{\alpha }(X)⩽{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{R}}_{\alpha }(Y).$

Dla rozkładów eliptycznych (w tym rozkładu rozkładu normalnego) zachodzi ponadto własność podaddytywności:

• ${\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{R}}_{\alpha }(X+Y)⩽{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{R}}_{\alpha }(X)+{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{R}}_{\alpha }(Y).$

Sposoby wyznaczania

• analiza wartości historycznych – metoda ta polega na konstruowaniu rozkładu empirycznego na podstawie danych historycznych
• metody Monte Carlo – polegają na przeprowadzeniu doświadczenia losowego przy przyjętych założeniach o rozkładzie wartości portfela i na tej podstawie wyznaczeniu wartości zagrożonej
• metody analityczne – polegają na przyjęciu założeń dotyczących modelowania wartości portfela, a następnie bezpośrednim wyznaczeniu ich wartości

Krytyka

Krytyka wartości zagrożonej jest w dużej mierze spowodowana stosowaniem rozkładu Gaussowskiego dla analizowanych zdarzeń. Przybliżenie uzyskiwane poprzez przyjęcie założenia o normalności rozkładu niesie za sobą poważne konsekwencje w postaci niedostatecznie grubych ogonów co w sposób istotny wpływa na współczynnik ${\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{R}}_{\alpha }(X).$

Kolejną wadą towarzyszącą stosowaniu wartości zagrożonej do konstruowania wymogów związanych z ryzykiem finansowym jest brak informacji o kształcie rozkładu strat dla wartości bezwzględnie większych od poziomu ${\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{R}}_{\alpha }(X).$

Powstała wersja zmodyfikowanego wskaźnika (Szablon:Ang.), w której wykorzystano uogólnienie Cornish–Fishera, pozwalające na analizę rozkładów niegaussowskich.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę