Uogólnienie twierdzenia

Uogólnienie twierdzenia – zagadnienie logiki matematycznej oraz dydaktyki matematyki. Ogólniejszy przypadek danego twierdzenia, to jest taki, którego to twierdzenie jest pewnym przypadkiem szczególnym (jednym z przypadków i da się je wyprowadzić z twierdzenia uogólnionego).

Szablon:Główny artykuł Niech będzie dana pewna teoria oraz jej twierdzenia:

$P:{\mathrm{\forall }}_{x}Z(x)\Rightarrow T(x),$

$P^{\prime }:{\mathrm{\forall }}_x{Z}^{\prime }(x)\Rightarrow T^{\prime }(x),$

gdzie zakresem zmiennej $x$ jest pewien ustalony zbiór.

Gdy w rozważanej teorii zachodzą warunki:

1. ${\mathrm{\forall }}_{x}Z(x)\Rightarrow Z^{\prime }(x),$
2. ${\mathrm{\forall }}_x{Z}^{\prime }(x)\Rightarrow Z(x),$
3. ${\mathrm{\forall }}_{x}Z(x)\wedge T^{\prime }(x)\Rightarrow T(x),$

to $P^{\prime }$ jest uogólnieniem twierdzenia $P$.

Przykład

• $P:$ Jeżeli A, B, C są wierzchołkami trójkąta prostokątnego o kącie prostym przy wierzchołku C, to $|AB{|}^2=|BC{|}^2+|AC{|}^2$ (twierdzenie Pitagorasa).
• $P^{\prime }:$ Jeżeli A, B, C są różnymi punktami, to: $|AB{|}^2=|BC{|}^2+|AC{|}^2-2\cdot |BC|\cdot |AC|\cdot \cos \measuredangle ACB$ (twierdzenie cosinusów).

Twierdzenie $P^{\prime }$ jest uogólnieniem twierdzenia $P$ (twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów – dla kąta prostego).