Układ różniczkujący

Układ różniczkujący – układ elektroniczny którego napięcie wyjściowe jest proporcjonalne do szybkości zmian napięcia wejściowego. Układy różniczkujące buduje się jako aktywne i pasywne.

Teoria

Pasywny układ różniczkujący

Aktywny układ różniczkujący

Układ różniczkujący składa się z kondensatorów i rezystorów (rzadziej z cewek i rezystorów). Działanie układu opiera się na relacji pomiędzy prądem i napięciem na kondensatorze.

$i=C\frac{dU}{dt}.$

W przypadku układu aktywnego prąd płynący przez kondensator jest proporcjonalny do pochodnej napięcia wejściowego po czasie. W układzie pasywnym zależność tę przyjmuje się z pewnym przybliżeniem. Prąd kondensatora płynie również przez rezystor. Napięcie na rezystorze, równe napięciu wyjściowemu, określa prawo Ohma.

• Dla układu pasywnego:

$i=\frac{U_R}{R},$

$U_{we}=U_C+U_R.$

Po zróżniczkowaniu powyższych równań otrzymamy:

$\frac{d{U}_{we}}{dt}=\frac{d{U}_C}{dt}+R\frac{di}{dt}=\frac{i}{C}+R\frac{di}{dt}.$

Przy zastosowaniu przybliżenia:

$\left|\frac{i}{C}\right|\gg R\left|\frac{di}{dt}\right|,$

wtedy

$\frac{d{U}_{we}}{dt}=\frac{d{U}_C}{dt}\cong \frac{i}{C}$

i ostatecznie:

$U_{wy}\cong RC\frac{d{U}_{we}}{dt}.$

• Dla układu aktywnego:

$i_C=i_R=i{U}_{-}=U_{+}=0$ oraz $U_{wy}=-U_R$

$C\frac{d{U}_{we}}{dt}-\frac{U_{wy}}{R}=0,$

stąd:

$U_{wy}=-RC\frac{d{U}_{we}}{dt},$

co potwierdza, że napięcie wyjściowe jest proporcjonalne do pochodnej napięcia wejściowego.

gdzie:

$i$ – prąd płynący przez kondensator i rezystor,

$C$ – pojemność,

$U_C$ – napięcie na kondensatorze,

$R$ – rezystancja opornika,

$U_{wy}$ – napięcie wyjściowe równe napięciu na rezystorze,

$U_{we}$ – napięcie wejściowe, w przybliżeniu równe napięciu na kondensatorze.

Zastosowanie

Układy różniczkowe są używane głównie w filtrach górnoprzepustowych, w systemach automatyki do przetwarzania sygnału. Były stosowane w pierwszej połowie XX w. w maszynach analogowych do symulacji elektrycznej rozwiązań równań różniczkowych.

Zobacz też

• układ całkujący (integrator)