Układ łańcuchowy

Układ łańcuchowy – pojęcie związane z robotami mobilnymi, oznacza sposób na przedstawienie zależności pomiędzy położeniem i orientacją robota w przestrzeni, a sygnałami sterującymi. Wzór na układ łańcuchowy używany jest m.in. w algorytmie sterowania sinusoidalnego.

Definicja

Układem łańcuchowym nazywa się układ równań różniczkowych w postaci:

$\frac{d{x}_1}{dt}=u_1$

$\frac{d{x}_2}{dt}=u_2$

$\frac{d{x}_3}{dt}=x_2{u}_1$

$\frac{d{x}_4}{dt}=x_3{u}_1$

...

$\frac{d{x}_n}{dt}=x_{n-1}{u}_1$

Układ taki ma $n$ zmiennych i dwa sterowania, za pomocą których należy ustawić wszystkie zmienne na określonych pozycjach. Powyższe równania można także przedstawić jako układ bezdryfowy:

$\frac{dx}{dt}=g(x)u,$

gdzie:

$g_1(x)=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ x_2\\ .\\ .\\ x_{n-1}\end{array}\right],$ $g_2(x)=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ .\\ .\\ 0\end{array}\right].$

Przykład

Istnieje nieliniowy układ dynamiczny przedstawiony jako układ równań (*)

$\frac{dx}{dt}=u_1\cos \theta$

$\frac{dy}{dt}=u_1\sin \theta$

$\frac{d\varphi }{dt}=u_2$

$\frac{d\theta }{dt}=u_1\mathrm{tg}\varphi .$

Na początku należy wyznaczyć przybliżenie liniowe funkcji $\sin ,\cos ,\mathrm{tg}$ stosując wzór:

$f(x)\approx f(x_0)+\frac{\partial f(x_0)}{\partial x}(x-x_0).$

W ten sposób otrzymuje się:

$\sin \theta =\theta ,$

$\cos \theta =1,$

$\mathrm{tg}\varphi =\varphi ,$

a po podstawieniu do (*):

$\frac{dx}{dt}=u_1$

$\frac{dy}{dt}=u_1\theta$

$\frac{d\varphi }{dt}=u_2$

$\frac{d\theta }{dt}=u_1\varphi .$

Na podstawie otrzymanego układu równań tworzone są nowe zmienne $x_i,$ które po zróżniczkowaniu dadzą układ łańcuchowy.

$x_1=x,$

$x_2=\varphi ,$

$x_3=\theta ,$

$x_4=y,$

$\frac{d{x}_1}{dt}=\frac{dx}{dt}=u_1,$

$\frac{d{x}_2}{dt}=\frac{d\varphi }{dt}=u_2,$

$\frac{d{x}_3}{dt}=\frac{d\theta }{dt}=\varphi *u_1=x_2*u_1,$

$\frac{d{x}_4}{dt}=\frac{dy}{dt}=\theta *u_1=x_3*u_1.$

W ten oto sposób otrzymany został układ łańcuchowy, którym można sterować (o ile jest sterowalny, patrz nawiasy Liego) za pomocą sygnałów wyznaczonych w algorytmie sterowania sinusoidalnego itp.