Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie

Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie – twierdzenie algebry liniowej mówiące o możliwości przedłużenia funkcji określonej na wektorach bazowych danej przestrzeni liniowej do przekształcenia liniowego określonego na całej przestrzeni. Dokładniej, jeżeli $B$ jest bazą przestrzeni liniowej $V,$ a $W$ jest dowolną przestrzenią liniową nad tym samym ciałem co $V,$ zaś $\mathrm{f}:B\to W$ jest dowolną funkcją, to istnieje takie przekształcenie liniowe $\mathrm{T}:V\to W,$ że $\mathrm{T}({𝐛}_i)=\mathrm{f}({𝐛}_i)$ dla każdego elementu ${𝐛}_i$ bazy $B.$

Przykład

Aksjomat wyboru jest równoważny istnieniu bazy dowolnej przestrzeni liniowej. Ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych; w szczególności $ℝ$ jest przestrzenią liniową nad $\mathbb{Q},$ której baza $B$ (nazywana czasem bazą Hamela) jest mocy continuum. Korzystając z twierdzenia o przekształceniu liniowym zadanym na bazie można udowodnić istnienie nieciągłego rozwiązania równania Cauchy’ego, tj. istnienie takiej funkcji $f,$ która spełniałaby równość $f(x+y)=f(x)+f(y)$ dla wszystkich liczb rzeczywistych $x,y.$ Prosta rzeczywista jest ośrodkowa (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych), skąd każda funkcja ciągła na $ℝ$ jest wyznaczona jednoznacznie przez swoje wartości na argumentach wymiernych. Oznacza to, że istnieje $|ℝ{|}^{|\mathbb{Q}|}={𝔠}^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\left(2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\right)}^{{\mathrm{\aleph }}_0}=2^{{\mathrm{\aleph }}_0\cdot {\mathrm{\aleph }}_0}=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}=𝔠$ funkcji ciągłych na $ℝ,$ przy czym symbole ${\mathrm{\aleph }}_0$ oraz $𝔠$ oznaczają odpowiednio pierwszą nieskończoną liczbę kardynalną oraz liczbę kardynalną continuum. Z drugiej strony istnieje $|ℝ{|}^{|B|}={𝔠}^{𝔠}$ funkcji rzeczywistych, określonych na $B.$ Z twierdzenia Cantora wynika, że ${𝔠}^{𝔠}⩾2^{𝔠}>𝔠$ (słaba nierówność jest w istocie równością). Do przekształcenia liniowego (spełniającego równanie Cauchy’ego z definicji) można przedłużyć dowolną funkcję $f:B\to ℝ.$ Ponieważ jest ich więcej niż wszystkich funkcji ciągłych, to istnieją nieciągłe rozwiązania równania Cauchy’ego.

Bibliografia

• Joseph J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, 2003, Szablon:ISBN, s. 323.