Twierdzenie o aproksymacji symplicjalnej

W topologii algebraicznej twierdzenie o aproksymacji symplicjalnej mówi, że dowolne przekształcenie ciągłe między realizacjami kompleksów symplicjalnych da się dobrze przybliżyć przez odwzorowanie symplicjalne.

Definicje

Gwiazdą wokół wierzchołka dla danego wierzchołka $s$ kompleksu symplicjalnego $K$ nazywamy podkompleks składający się z wszystkich simpleksów $K,$ które zawierają wierzchołek $s.$ Gwiazdę wokół wierzchołka $s$ oznaczamy $St(s).$

Aproksymacją symplicjalną funkcji ciągłej $g:|K|\to |L|$ nazywamy takie odwzorowanie symplicjalne $f:K\to L$ (tj. takie, odwzorowanie wierzchołków $f:K\to L.$ że jeśli sympleks $\sigma \in K$ jest sympleksem to $f(\sigma )$ jest sympleksem w $L$), że spełniony jest następujący warunek:

$\mathrm{\forall }v:g(St(v))\subset St(f(v)).$

Treść twierdzenia

Niech $K$ będzie skończonym kompleksem symplicjalnym, a $f:|K|\to |L|$ odwzorowaniem ciągłym. Wówczas istnieje takie $n⩾0$ oraz odwzorowanie symplicjalne $g:K^{(n)}\to L$ będące aproksymacją symplicjalną $f,$ gdzie $K^{(n)}$ jest $n$-tym podziałem barycentrycznym kompleksu $K.$

Zastosowania

Jeśli $K$ jest kompleksem symplicjalnym o wymiarze $n,$ a $L$ jest kompleksem symplicjalnym o wymiarze $m$ oraz $n<m,$ to z twierdzenia o aproksymacji symplicjalnej wynika, że dla dowolnej ciągłej funkcji $f:|K|\to |L|$ istnieje homotopijne z nią odwzorowanie $g,$ które nie jest suriekcją. W szczególności, wszystkie funkcje ciągłe ${𝕊}^n\to {𝕊}^m$ dla $n<m$ są nieistotne (tj. homotopijne z odwzorowaniem stałym), bo ich obraz zawiera się w pewnej sferze z wyjętym punktem, a ta jest ściągalna.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj stronę
• Szablon:Cytuj książkę