Twierdzenie Tellegena

Twierdzenie Tellegena (zasada Tellegena) – jedno z najważniejszych twierdzeń teorii obwodów, stosowane do analizy dowolnych obwodów skupionych. Zostało po raz pierwszy sformułowane w 1952 roku przez holenderskiego elektrotechnika Bernarda Tellegena.

Treść twierdzenia

czyli: $\sum _{k=1}^K{p}_k=0,$ gdzie K to liczba elementów skupionych, a $p_k$ to moc chwilowa pobierana przez k-ty elementSzablon:R.

Ze względu na tożsamość powyższego równania względem czasu $t,$ prawdziwa jest również zależność $\underset{t}{\bigwedge }\sum _{k=1}^K{p}_k=0.$

DowódSzablon:R

Niech prądy gałęziowe $i_m$ oraz napięcia gałęziowe $u_m$ spełniają kolejno pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa, a $v_m$ to potencjały poszczególnych węzłów. Wówczas napięcie pomiędzy węzłami $k$ i $l$ jest określone zależnością

$u_{kl}=v_k-v_l.$

Moc chwilową prądu $i_{kl}$ można opisać zależnością

$p_{kl}=i_{kl}{u}_{kl}=i_{kl}(v_k-v_l)=i_{kl}{v}_k-i_{kl}{v}_l.$

Wiedząc, że

$i_{kl}=-i_{lk},$

otrzymujemy

$i_{kl}{u}_{kl}=i_{kl}{v}_k+i_{lk}{v}_l.$

Analogicznie postępujemy dla wszystkich składników sumy $\sum u_m{i}_m.$

Grupujemy składniki postaci $v_k\sum _j{i}_{kj}.$

Na podstawie I prawa Kirchhoffa

$\sum _j{i}_{kj}=0,$

a więc

$\sum u_m{i}_m=0,$

czyli

$\sum p_m=0.$

Można też wykazać, że spośród trzech twierdzeń – obu praw Kirchhoffa oraz twierdzenia Tellegena, każde z nich można wyprowadzić z dwóch pozostałychSzablon:R.

Wnioski

Twierdzenie Tellegena stanowi zasadę zachowania mocy i energii w układach skupionych. W danej chwili suma mocy pobieranych przez elementy takiego układu jest równa mocy oddawanej przez pozostałe elementy. Zależność $\sum _{k=1}^K{p}_k=0$ można sprowadzić do zasady zachowania energii, całkując to wyrażenie w przedziale $[t_0,t_1]$Szablon:R

$\underset{t_1}{\overset{t_0}{\int }}\sum _{k=1}^K{p}_{k}dt=\sum _{k=1}^K\underset{t_1}{\overset{t_0}{\int }}{p}_{k}dt=0.$

Zastosowanie

Twierdzenie Tellegena jest jednym z najogólniejszych twierdzeń w teorii obwodów. Może być stosowane do opisu jakichkolwiek obwodów zbudowanych z elementów skupionych, tj. takich, których właściwości i zachowanie można opisać tylko funkcjami czasu. Po uogólnieniu może być również wykorzystywane w analizie topologicznej w innych niż elektronika dziedzinach nauki np. w chemii, fizyce czy biologii.