Twierdzenie Strassmana

Twierdzenie Strassmana to wynik z teorii ciał, które mówi, że szeregi potęgowe ze współczynnikami z pierścienia waluacji dla odpowiednio dobranego ciała mają tylko skończenie wiele zer.

Historia

Dowód podał Reinhold Straßmann w roku 1928.

Twierdzenie

Niech $K$ będzie ciałem z niearchimedesową wartością bezwzględną, zaś $R$ jego pierścieniem waluacji. Niech $f(x)$ będzie formalnym szeregiem potęgowym o współczynnikach $a_n$ z $R$ zbiegających do zera względem | · |, który nie jest tożsamościowo zerem. Wtedy $f(x)$ ma tylko skończenie wiele zer w $R.$ Dokładniej, liczba zer to co najwyżej $N,$ gdzie $N$ to największy indeks spełniający $|a_N|=\max a_n.$

Dowód

Niech $K={\mathbb{Q}}_p.$ Będziemy dowodzić przy pomocy indukcji matematycznej względem $N.$ Jeżeli $|a_0|>|a_n|$ dla $n⩾1,$ to chcemy wywnioskować nieistnienie zer w ${\mathbb{Z}}_p.$ Rzeczywiście, gdyby istniało $x_0,$ że $f(x_0)=0,$ to

$|a_0|=|a_{1}x+a_2{x}^2+\dots |⩽\underset{n⩾1}{\max }|a_n{x}^n|⩽\underset{n⩾1}{\max }|a_n|<|a_0|,$

co prowadzi do sprzeczności.

Krok indukcyjny: jeżeli znaleźliśmy już $N$ i $f(\alpha )=0$ dla $\alpha \in {\mathbb{Z}}_p,$ to możemy wybrać dowolne $x\in {\mathbb{Z}}_p$ i napisać:

$f(x)=f(x)-f(\alpha )=(x-\alpha )\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{n-1}{a}_n{x}^j{\alpha }^{n-1-j}.$

Po zmianie kolejności sumowania mamy

$f(x)=(x-\alpha )\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{j+1+k}{\alpha }^k{x}^j=(x-\alpha )\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{x}^j.$

Widać, że $b_j$ dąży do zera, a nawet $|b_j|⩽\underset{k⩾0}{\max }|a_{j+k+1}|⩽|a_N|$ dla każdego $j,$ zatem

$|b_{N-1}|=\left|\sum _{k=N}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{\alpha }^{k-N}\right|=|a_N|.$

Skoro dla każdego $j⩾N$ zachodzi też

$|b_j|⩽\underset{k⩾0}{\max }|a_{j+k+1}|⩽\underset{j⩾N+1}{\max }|a_j|<|a_N|,$

to liczbą zer z twierdzenia dla $f(X)/(X-\alpha )$ jest $N-1,$ co kończy dowód.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld