Twierdzenie Salmona

Twierdzenie Salmona – twierdzenie planimetrii: Jeśli z punktu leżącego na okręgu poprowadzono trzy cięciwy i na każdej z nich jako na średnicy zbudowano okrąg, to okręgi te przecinają się parami w trzech punktach leżących na jednej prostej.

Dowód

Niech $M,A,B,C$ oznaczają odpowiednio: dany punkt i końce danych trzech cięciw. Oczywiście leżą one na okręgu, nazwijmy go $\pi .$ Załóżmy, bez szkody dla ogólności, że leżą one na tym okręgu w tej właśnie kolejności.
Okręgi opisane na średnicach $MA,MB,MC$ oznaczmy jako ${\pi }_A,{\pi }_B,{\pi }_C.$

Przecięcia par okręgów ${\pi }_A,{\pi }_B;{\pi }_B,{\pi }_C;{\pi }_C,{\pi }_A$ oznaczmy jako $P,Q,R$ odpowiednio.
Dokonajmy inwersji w punkcie M i dowolnym promieniu. Niech odpowiednie obiekty po tym przekształceniu mają nazwy primowane.

Z własności inwersji wynika, że:

• proste zawierające $MA,MB,MC$ przejdą na proste
• ${{\pi }_A}^{\prime },{{\pi }_B}^{\prime },{{\pi }_C}^{\prime }$ są prostymi prostopadłymi do, odpowiednio, $M{A}^{\prime },M{B}^{\prime },M{C}^{\prime }$ w punktach $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$
• ${\pi }^{\prime }$ jest prostą zawierającą $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$

Co więcej, punkty $P,Q,R$ są współiniowe wtedy i tylko wtedy, gdy $M,P^{\prime },Q^{\prime },R^{\prime }$ leżą na jednym okręgu.
Zauważmy teraz, że $\mathrm{\angle }{P}^{\prime }{A}^{\prime }M=90^{\circ }=\mathrm{\angle }{P}^{\prime }{B}^{\prime }M,$ zatem $P^{\prime },A^{\prime },B^{\prime },M$ leżą na jednym okręgu. Analogicznie $M,A^{\prime },C^{\prime },R^{\prime }$ oraz $M,B^{\prime },C^{\prime },Q^{\prime }$ są współokręgowe.

Skoro trójki punktów $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ i $P^{\prime },B^{\prime },Q^{\prime }$ są współliniowe, możemy zapisać, że:

$180^{\circ }-\mathrm{\angle }M{P}^{\prime }{R}^{\prime }=\mathrm{\angle }M{P}^{\prime }{A}^{\prime }=\mathrm{\angle }M{B}^{\prime }{A}^{\prime }=180^{\circ }-\mathrm{\angle }M{B}^{\prime }{C}^{\prime }=\mathrm{\angle }M{Q}^{\prime }{C}^{\prime }$

Zatem na czworokącie $M{P}^{\prime }{Q}^{\prime }{R}^{\prime }$ można opisać okrąg, skąd wynika, że punkty $P,Q,R$ leżą na prostej, c.n.d.

Bibliografia

• S.I. Zetel, Geometria trójkąta, Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa 1964.