Twierdzenie Poissona

Szablon:Dopracować Twierdzenie Poissona dostarcza dobrego przybliżenia uzyskania konkretnej liczby sukcesów w schemacie Bernoulliego w przypadku, gdy prawdopodobieństwo sukcesu jest małe oraz iloczyn prawdopodobieństwa sukcesu i liczby prób dąży do pewnej stałej.

Twierdzenie

Niech $B_n$ będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych $B(n,p_n).$ Wówczas jeżeli

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}n{p}_n=\lambda ,$

to

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}𝖯(B_n=k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!},$

lub równoważnie

$B_n\stackrel{D}{⟶}X,X\sim \mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{s}(\lambda )$

Dowód

Z definicji rozkładu dwumianowego dostajemy, że

$𝖯(B_n=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_n^k(1-p_n{)}^{n-k}.$

Niech ${\lambda }_n=n{p}_n.$ Wówczas ${\lambda }_n⟶\lambda .$ Mamy zatem

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }𝖯(B_n=k)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{k!(n-k)!}{\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k{(1-\frac{\lambda }{n})}^{n-k}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{{\lambda }^k}{k!}\right)\left(\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k}\right){(1-\frac{\lambda }{n})}^n{(1-\frac{\lambda }{n})}^{-k}\\ & =\frac{{\lambda }^k}{k!}\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\to 1}{\underbrace{(\frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}\cdots \frac{n-k+1}{n})}}\underset{\to e^{-\lambda }}{\underbrace{{(1-\frac{\lambda }{n})}^n}}\underset{\to 1}{\underbrace{{(1-\frac{\lambda }{n})}^{-k}}}\\ & =\frac{{\lambda }^k{\mathrm{e}}^{-\lambda }}{k!}\end{array}$Szablon:Odn.

Uwaga

Można przeprowadzić dowód w inny sposób, używając funkcji charakterystycznej. Wystarczy wykazać, że funkcja charakterystyczna zmiennej $B_n$ dąży do funkcji charakterystycznej rozkładu Poissona o stałej $\lambda :$

jeśli $X\sim \mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{s}(\lambda ),$ to $𝖯(X=k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}.$

Komentarz

Twierdzenie Poissona podobnie jak centralne twierdzenie graniczne służy do opisywania sum niezależnych zmiennych losowych. Różnica między tymi twierdzeniami polega na tym, że centralne twierdzenie graniczne mówi nam o sytuacjach, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest umiarkowane, a twierdzenie Poissona opisuje sytuacje, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest małe. Dobrym przykładem sytuacji, w której warto stosować twierdzenie Poissona do oszacowań, jest prawdopodobieństwo wygrania dużej kwoty na loterii.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę