Twierdzenie Mellina o inwersji

Twierdzenia Mellina o inwersji – twierdzenie mówiące o warunkach, dla których możemy zastosować transformację Mellina lub jej odwrotność, aby uzyskać funkcję, na której zastosowaliśmy je. Twierdzenie nosi nazwisko Hjalmara Mellina.

Treść twierdzenia

Niech $\phi (s)$ będzie funkcją analityczną w obszarze $a<\mathrm{\Re }(s)<b$, która dąży jednostajnie do 0 gdy $\mathrm{\Im }(s)\to \pm \mathrm{\infty }$ dla dowolnej wartości $\mathrm{\Re }(s)$ w tym obszarze i dla której

$\underset{c-\mathrm{\infty }i}{\overset{c+\mathrm{\infty }i}{\int }}|\phi (s)|ds<\mathrm{\infty }$

dla dowolnej liczby $c\in (a,b)$. Wówczas

$f(x)=\{{ℳ}^{-1}\phi \}(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-\mathrm{\infty }i}{\overset{c+\mathrm{\infty }i}{\int }}{x}^{-s}\phi (s)ds$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\phi (s)=\{ℳf\}(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}f(x)dx$.