Twierdzenie Gerszgorina

Twierdzenie Gerszgorina – twierdzenie pozwalające nałożyć ograniczenia na wartości własne macierzy o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych. Po raz pierwszy zostało opublikowane w roku 1931 przez matematyka pochodzenia białoruskiego, Siemiona Gerszgorina.

Treść twierdzenia oraz dowód

Niech $A$ będzie kwadratową macierzą zespoloną o rozmiarze $n\times n$ z elementami $(a_{ij}).$ Dla $i\in \{1,\dots n\}$ niech $R_i={\mathrm{\Sigma }}_{j\ne i}|a_{ij}|$ gdzie $|a_{ij}|$ oznacza moduł z liczby $a_{ij}.$ Niech $D(a_{ii},R_i)$ będzie domkniętym kołem o środku w $a_{ii}$ i promieniu $R_i.$ Takie koła są nazywane kołami Gerszgorina.

Twierdzenie Gerszgorina: każda wartość własna macierzy $A$ leży wewnątrz lub na brzegu przynajmniej jednego z kół $D(a_{ii},R_i).$

Dowód: Niech $\lambda$ będzie wartością własną $A$ oraz $𝐱=(x_j)$ odpowiadającym jej wektorem własnym. Niech $i\in \{1,\dots n\}$ będzie takie, iż $|x_i|=\max {}_j|x_j|.$ Wtedy $|x_i|>0,$ gdyż w przeciwnym wypadku $𝐱=0,$ co nie może zajść dla wektorów własnych (nie są one wektorami zerowymi). Z równania na wartości własne macierzy mamy $A𝐱=\lambda 𝐱$ lub równoważnie (rozpisując zapis macierzowo-wektorowy):

$\sum _j{a}_{ij}{x}_j=\lambda x_i\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\}$

obustronnie odejmując $a_{ii}{x}_i$ dostajemy:

$\sum _{j\ne i}{a}_{ij}{x}_j=\lambda x_i-a_{ii}{x}_i.$

I dzielimy obustronnie przez $x_i$ (z wyboru i wiemy, że $x_i\ne 0$), a także obkładamy modułami:

$|\lambda -a_{ii}|=\left|\frac{\sum _{j\ne i}{a}_{ij}{x}_j}{x_i}\right|⩽\sum _{j\ne i}|a_{ij}|=R_i.$

Ostatnia nierówność jest poprawna, gdyż z warunku $|x_i|=\max {}_j|x_j|$ mamy

$\left|\frac{x_j}{x_i}\right|⩽1\mathrm{\forall }j\ne i.$

□

Ponieważ wartości własne macierzy $A^{\mathrm{T}}$ są takie same jak macierzy $A,$ twierdzenie to można wzmocnić – wszystkie wartości własne macierzy $A$ muszą leżeć na przecięciu sumy kół Gerszgorina macierzy $A$ i sumy kół dla macierzy $A^{\mathrm{T}}.$

W szczególnym przypadku dla macierzy diagonalnej mamy, że wartości własne muszą być równe elementom leżącym na głównej przekątnej.

Bibliografia

• S. Gerschgorin, Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix, „Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk” 7 (1931), s. 749–754.
• R.S. Varga, Geršgorin and His Circles, Berlin: Springer-Verlag, 2004. Szablon:ISBN. Errata.
• Andrzej Turowicz, Geometria zer wielomianów, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1967.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Semyon Aranovich Gershgorin biography at MacTutor