Twierdzenie Gaussa-Lucasa

Twierdzenie Gaussa-Lucasa podaje geometryczną zależność pomiędzy zespolonymi zerami wielomianu $p(z)$ a zerami jego pochodnej $p^{\prime }(z)$ na płaszczyźnie zespolonej $ℂ.$ Stwierdza ono, że miejsca zerowe pochodnej wielomianu leżą w otoczce wypukłej zbioru zer wyjściowego wielomianu. Ponieważ niezerowy wielomian posiada skończoną liczbę miejsc zerowych, więc otoczka wypukła jego zer jest najmniejszym wypukłym wielokątem na płaszczyźnie zawierającym te zera.

W pewnym stopniu twierdzenie to jest podobne do twierdzenia Rolle’a z rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej, z którego wynika, że pomiędzy dwoma zerami funkcji różniczkowalnej istnieje zero jej pochodnej. Jednak twierdzenie Rolle’a dotyczy dowolnej funkcji różniczkowalnej (wielomiany rzeczywiste są tylko szczególnym przypadkiem), ale z drugiej strony geometria twierdzenie Rolle’a jest bardzo elementarna, gdyż dotyczy ona jednowymiarowej linii prostej $ℝ,$ podczas gdy twierdzenie Gaussa-Lucasa opisuje rozmieszczenie zer na dwuwymiarowej płaszczyźnie.

Formalna wypowiedź

Jeżeli $p$ jest różnym od stałej wielomianem o współczynnikach zespolonych, to wszystkie zera wielomianu $p^{\prime }$ należą do wypukłej otoczki zbioru zer wielomianu $p.$

Dowód

Dowód tego twierdzenia jest stosunkowo prosty i opiera się przede wszystkim na zasadniczym twierdzeniu algebry. Z twierdzenia tego wiemy, że każdy wielomian zespolony można rozłożyć na czynniki pierwsze postaci $z-z_k,$ gdzie $z_k$ to pierwiastki wielomianu. Niech więc $p(z)$ będzie wielomianem stopnia $n⩾1,$ którego pierwiastki (niekoniecznie różne) to $z_1,\dots ,z_n\in ℂ.$ Zatem mamy

$p(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\dots (z-z_n),$

gdzie $a_n\ne 0$ jest współczynnikiem wielomianu przy najwyższej potędze $z^n.$ Policzmy teraz pochodną wielomianu tak zapisanego:

$p^{\prime }(z)=a_n((z-z_2)\dots (z-z_n)+(z-z_1)(z-z_3)\dots (z-z_n)+\dots +(z-z_1)(z-z_2)\dots (z-z_{n-1})),$

i podzielmy $p^{\prime }(z)$ przez $p(z),$ co daje

$\frac{p^{\prime }(z)}{p(z)}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{z-z_k}.$

Niech $w\in ℂ$ będzie dowolnym pierwiastkiem pochodnej: $p^{\prime }(w)=0.$ Jeżeli $w\in \{z_1,\dots ,z_n\},$ to nie ma czego dowodzić, gdyż oczywiście wtedy $w$ należy do otoczki wypukłej zbioru $\{z_1,\dots ,z_n\}.$ Niech więc $w\notin \{z_1,\dots ,z_n\},$ to z powyższej równości otrzymamy

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{w-z_k}=0,$

co po skorzystaniu z elementarnej tożsamości $z^{-1}=\bar{z}/|z{|}^2$ daje

$\sum _{k=1}^n\frac{\bar{w}-\overline{z_k}}{|w-z_k{|}^2}=0.$

Biorąc teraz sprzężenie zespolone obu stron, otrzymamy

$\sum _{k=1}^n\frac{w-z_k}{|w-z_k{|}^2}=0,$

co po przekształceniu daje

$\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{|w-z_k{|}^2}\right)w=\sum _{k=1}^n\frac{1}{|w-z_k{|}^2}{z}_k.$

Oznaczając

$t_k=\left(\frac{1}{|w-z_k{|}^2}\right)/\left(\sum _{j=1}^n\frac{1}{|w-z_j{|}^2}\right),$

mamy $t_1,\dots t_n\in [0,1],\sum _{k=1}^n{t}_k=1$ oraz

$w=\sum _{k=1}^n{t}_k{z}_k,$

co jest kombinacją wypukłą wektorów $z_1,\dots ,z_n.$

Bibliografia

• K. Szyszkiewicz, R. Filipek, Metody matematyczne i numeryczne dla ceramików, Wyd. AGH, Kraków 2013.

Linki zewnętrzne

• Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków (Dodatek do skryptu, s. 12)
• Szablon:Cytuj stronę