Twierdzenie Engela

Twierdzenie Engela – twierdzenie dające odpowiedź na pytanie, kiedy dana algebra Liego jest nilpotentna.

Definicje wstępne

Algebra Liego $𝐋$ jest nilpotentna, kiedy zstępujący ciąg centralny, zdefiniowany przez:

${𝐋}_0=𝐋,$

${𝐋}_{i+1}=[𝐋,{𝐋}_i].$

W końcu osiąga {0}.

Dla $x\in 𝐋$ operator dołączony ${\mathrm{ad}}_x$ definiujemy przez:

${\mathrm{ad}}_x(y)=[x,y].$

Operator dołączony jest operatorem liniowym na przestrzeni wektorowej $L.$

Twierdzenie

Skończeniewymiarowa algebra Liego jest nilpotentna wtedy i tylko wtedy, gdy operator dołączony każdego elementu tej algebry jest nilpotentny.

Uwagi

Twierdzenie jest prawdziwe niezależnie od ciała nad którym zbudowana jest algebra Liego.